Aufgabe #37 < Wettbewerbe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Übungsaufgabe) Übungsaufgabe  | | Datum: | 09:47 Sa 14.05.2005 | | Autor: | Hanno |
Hallo an alle!
Eine Aufgabe aus der diesjährigen Bundesrunde, Klasse 10:
Es sei [mm] $M\subset \{1,2,...,2005\}, [/mm] |M|=15$. Zeige, dass es zwei nichtleere, disjunkte Teilmengen von $M$ so gibt, dass die Summe ihrer Elemente gleich ist.
Liebe Grüße,
Hanno
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Hallo Hanno,
schön, dass du ein paar neue Aufgaben gestellt hast.
Die Aufgabe ist ein typisches Beispiel für das Schubfachprinzip:
es gibt insgesammt
$ [mm] \summe_{n=1}^{15} \vektor{15 \\ n} =2^{15}-1=32 [/mm] 767$ nicht notwendigerweise disjunkte, aber nicht leere Teilmengen von M.
Die Summe der Elemente einer Teilmenge von M ist mindestens als 1 und höchstens 2005+2004+...+1991=29970.
Folglich ist die Summe der Elemente zweier Teilmengen von M gleich. Diese seinen T1 und T2.
$A:=T1-(T1 [mm] \cap [/mm] T2 )$ und $B:= T2-(T1 [mm] \cap [/mm] T2 )$ sind nun die zwei geforderten disjunkte Mengen, deren Elemente die gleiche Summe haben. Beide sind offentsichtlich nicht leer, da sonst T1=T2 wäre.
Gruß Samuel
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:02 Sa 14.05.2005 | | Autor: | Hanno |
Hallo Samuel!
Wunderbar, genau so hab' ich das auch gemacht :)
Liebe Grüße,
Hanno
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