Aufgabe #33 (IMO) < Wettbewerbe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Übungsaufgabe) Übungsaufgabe  | | Datum: | 16:00 So 27.03.2005 | | Autor: | Hanno |
Hallo an alle!
So, und zum Schluss gibt es nun noch einen richtigen Kracher (ich kenne zwar die Lösung nicht, aber ich denke mal, dass die Tatsache, dass die Aufgabe von der IMO stammt, Beweis genug ist ;) ):
Es seien [mm] $n\geq [/mm] 3$ Punkte in der Ebene gegeben, das Maximum der Längen der Verbindungsstrecken je zweier Punkte sei $d$. Diejenigen Verbindungsstrecken, deren Länge $d$ ist, sollen Durchmesser des gegebenen Punktesystems heißen. Man zeige, dass die Anzahl dieser Durchmesser höchstens $n$ beträgt.
Liebe Grüße,
Hanno
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:22 Do 31.03.2005 | | Autor: | rAiNm4n |
Hallo,
ich beginne bei meinem Beweis mit einer Punktemenge aus n>=3 Punkten, welche die Punkte [mm] P_{1}, P_{2} [/mm] und [mm] P_{3} [/mm] enthält, die alle den gleichen Abstand d zueinander haben, also die Ecken eines gleichseitigen Dreiecks bilden. Im folgenden heißt die Anzahl der Punkte n und die Anzahl der Durchmesser [mm] i_{d}. [/mm] Ferner sei A die Fläche, die die drei Kreise um [mm] P_{1}, P_{2} [/mm] und [mm] P_{3} [/mm] überschneiden, und U die Begrenzung dieser Fläche. Alle anderen Punkte müssen innerhalb von A liegen (siehe Fall 3).
Z.Z: Egal wie man diese Punktemenge nun erweitert, es gilt immer [mm] i_{d} [/mm] <= n
Für die Erweiterung der Punktemenge durch einen neuen Punkt [mm] P_{x} [/mm] wird folgende Fallunterscheidung gemacht:
1) [mm] P_{x} [/mm] liegt innerhalb von A: Dann sind die Abstände von [mm] P_{x} [/mm] zu [mm] P_{1}, P_{2} [/mm] und [mm] P_{3} [/mm] alle kleiner d, somit bleibt [mm] i_{d} [/mm] unverändert, während n sich um eins erhöht: [mm] i_{d} [/mm] < n
2) [mm] P_{x} [/mm] liegt auf U: Der Abstand von [mm] P_{x} [/mm] zu dem gegenüberliegenden Punkt beträgt d, somit erhöhen sich [mm] i_{d} [/mm] und n um eins: [mm] i_{d} [/mm] <= n
3) [mm] P_{x} [/mm] liegt außerhalb von A und U: Dann ist der Abstand von [mm] P_{x} [/mm] zu einem oder zwei der anderen Punkte größer d, somit erhöht sich n um eins, während [mm] i_{d} [/mm] gleich eins oder zwei ist: [mm] i_{d} [/mm] < n
q.e.d.
Ich hoffe, das war einigermaßen verständlich. Ich habe jetzt leider keine Zeit mehr, Zeichnungen zu machen (die den Beweis sehr viel anschaulicher machen würden), vielleicht heute Abend...
Grüße,
Chris
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:09 Fr 01.04.2005 | | Autor: | rAiNm4n |
Leider steckt in meinem Beweisversuch ein Fehler, bzw. er ist unvollständig. Ich werde ihn noch einmal überarbeiten und erneut posten.
Chris
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Hallo Chris,
wie du selbst erkannt hast, ist dein Beweis noch unvollständig.
Der Fehler steckt in der Annahme, dass in der Punktmenge drei Punkte existieren, die ein gleichseitiges Dreieck mit Seitenlänge d bilden.
Du müsstest zumindest noch für den gegenteiligen Fall die Aussage beweisen.
Ich fürchte allerdings (habe anfangs vergeblich versucht die Aufgabe wie du zu lösen), dass deine Lösungsstrategie nicht zum Ziel führt.
Zuletzt noch einen kleinen aber entscheidenden Lösungtipp
Der Schlüssel zur Lösung der Aufgabe ist es zu zeigen, dass sich je zwei Durchmesser des Punktesystems schneiden bzw. von dem selben Punkt des Punktesystems ausgehen
Gruß Samuel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:14 Sa 02.04.2005 | | Autor: | Teletubyyy |
Hallo Hanno,
Ich will dann jetzt mal meine Lösung posten:
Zuerst zeige ich sich zwei beliebig gewählte Durchmesser immer schneiden bzw. einen Eckpunkt gemein haben:
Man nehme das Gegenteil an. Es gebe einen Durchmesser [AB] und einen [CD], die sich nicht schneiden:
a) das Viereck ABCD ist koncav:
Die Benennung erfolgt so, dass D innerhalb des Dreiecks ABC liegt.
Der Widerspruch erfolgt durch Winkelbetrachtung: [mm] $\angle [/mm] ADB < 180° $ und somit $ [mm] \angle [/mm] CDA + [mm] \angle [/mm] BDC > 180^$. Hierraus folgt sofort dass entweder [AC]>[CD] oder [CB]>[CD].
b) das Viereck ABCD ist konvex:
Der Wiederspruch erfolgt wiederum durch Winkelbetrachtung: damit nicht [DB]>d muss [mm] $\angle [/mm] BAD<90°$ sein, entsprechend gilt dies auch für die anderen Innenwinkel: [mm] $\angle [/mm] CBD [mm] \, [/mm] , [mm] \angle [/mm] DCB [mm] \, ,\angle [/mm] ADC [mm] \, [/mm] <90°$.
Dies widerspricht aber der Winkelsumme von 360° in Vierecken.
c) das "Viereck" ABCD ist derart beschaffen, dass mindestens ein Innenwinkel 180° beträgt.
Der Widerspruch ist trivial.
Wenn die Anzahl der Durchmesser größer n ist, so gehen, von einem Punkt mindestens drei Durchmesser aus. Dieser Punkt sei A und [AB]=[AC]=[AD]=d. Ferner liege [AC] zwischen [AB] und [AD]. Es ist offentlichtlich klar, dass es keinen Durchmesser [CE]=d geben kann, der [AB] und [AD] schneidet.
Das heißt nun (leicht verallgemeinert): Gehen von einem Punkt 2+k Durchmesser aus, so gibt es k Punkte, von denen nur ein Durchmesser ausgeht. Dies bedeutet, dass die Summe der Grade der Ecken (hier: Grad=Anzahl der ausgehenden Durchmesser) nie größer als 2n sein kann. Und damit kann die Anzahl der Durchmesser (da bei graden doppelt gezählt) niemals größer n sein! qed
Jetzt müsste das alles stimmen. (Hab ja fleißig nachgebesser... )
Gruß Samuel
[edit]: Ich hatte ursprünglich nur den Fall berücksichtigt, dass ABCD koncav ist, und den weitestgehend trivialen Fall, dass ABCD konvex ist nicht ausgeführt
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