Aufgabe #31 < Wettbewerbe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Übungsaufgabe) Übungsaufgabe  | | Datum: | 15:48 So 27.03.2005 | | Autor: | Hanno |
Hallo an alle!
Es seien positive, reelle Zahlen $a,b,c$ mit [mm] $a^2+b^2+c^2=1$. [/mm] Beweise die Ungleichung
[mm] $\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}\geq 3+\frac{2(a^3+b^3+c^3)}{abc}$.
[/mm]
So, das soll erstmal mit Ungleichungen reichen.
Liebe Grüße,
Hanno
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:07 Mi 30.03.2005 | | Autor: | moudi |
Hallo zusammen
Ich mache eine Reihe von äquivalenten Umformungen:
Zuerst nehme ich die 3 auf die rechte Seite und verteile sie "gerecht" auf die 3 Summanden rechts, den verbleibenden linken Term spalte ich auf:
[mm] $\frac1{a^2}-1+\frac1{b^2}-1+\frac1{c^2}-1\geq \frac{2a^2}{bc}+\frac{2b^2}{ac}+\frac{2c^2}{ab}$
[/mm]
Links mache ich gleichnamig:
[mm] $\frac{1-a^2}{a^2}+\frac{1-b^2}{b^2}+\frac{1-c^2}{c^2}\geq \frac{2a^2}{bc}+\frac{2b^2}{ac}+\frac{2c^2}{ab}$
[/mm]
Jetzt verwende ich [mm] $a^b+b^2+c^2=1$:
[/mm]
[mm] $\frac{b^2+c^2}{a^2}+\frac{a^2+c^2}{b^2}+\frac{a^2+b^2}{c^2}\geq \frac{2a^2}{bc}+\frac{2b^2}{ac}+\frac{2c^2}{ab}$
[/mm]
Ich spalte links wieder auf und gruppiere neu:
[mm] $\frac{a^2}{b^2}+\frac{a^2}{c^2}+\frac{b^2}{a^2}+ \frac{b^2}{c^2}+\frac{c^2}{a^2}+\frac{c^2}{b^2}\geq \frac{2a^2}{bc}+\frac{2b^2}{ac}+\frac{2c^2}{ab}$
[/mm]
Jetzt bringe ich alles auf die linke Seite:
[mm] $\frac{a^2}{b^2}-\frac{2a^2}{bc}+\frac{a^2}{c^2}+ \frac{b^2}{a^2}-\frac{2b^2}{ac}+\frac{b^2}{c^2}+ \frac{c^2}{a^2}-\frac{2c^2}{ab} +\frac{c^2}{b^2}\geq [/mm] 0$
Jetzt noch die binomischen Formeln:
[mm] $\left(\frac ab -\frac ac\right)^2+\left(\frac ba -\frac bc\right)^2+\left(\frac ca -\frac cb\right)^2\geq [/mm] 0$
Die letzte Ungleichung ist offensichtlich richtig. Die Voraussetzung, dass a,b,c positiv sind wird nicht benötigt, sie dürfen nur nicht 0 sein.
mfG Moudi
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:39 Mi 30.03.2005 | | Autor: | Hanno |
Hallo moudi!
Schön wie immer ;)
Ich habe es so gemacht: erst kann man zu
[mm] $(bc)^2(b^2+c^2)+(ac)^2(a^2+c^2)+(bc)^2(b^2+c^2)=a^4(b^2+c^2)+b^4(c^2+a^2)+c^4(a^2+b^2)\geq 2(a^3+b^3+c^3)(abc)$
[/mm]
umformen, was dann sofort aus
[mm] $a^4(b^2+c^2)\geq [/mm] 2a^4bc [mm] \gdw b^2+c^2 \geq [/mm] 2bc$
folgt, wobei die Variablen zyklisch zu vertauschen und die resultierenden drei Ungleichungen zu addieren sind.
Liebe Grüße,
Hanno
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