Aufgabe #27 < Wettbewerbe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Übungsaufgabe) Übungsaufgabe  | | Datum: | 15:34 So 27.03.2005 | | Autor: | Hanno |
Hallo an alle!
Auch wenn Tubbys Aufgaben noch ausstehen (und ich sie leider nicht lösen kann ;( ), möchte ich hier mit meine Aufgabenserie fortführen:
Man beweise folgende Aussage: Wenn ein Polynom [mm] $p(x)=x^3+Ax^2+Bx+C$ [/mm] drei reelle, positive Nullstellen hat, von denen mindestens zwei voneinander verschieden sind, dann gilt [mm] $A^2+B^2+18C>0$..
[/mm]
Liebe Grüße,
Hanno
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Hallo Hanno,
Deine Übungsaufgaben sind mal wieder ziemlich anspruchsvoll! Ich fürchte sogar zu anspruchsvoll (für mich  ) - bei den anderen hab ich (noch) absolulut keinen Plan...
Leider hab ich aber auch nicht die Zeit mir die Aufgaben groß vorzunehmen, da ich zur Zeit für die Latinumsprüfung lernen muss...
Nun zur Aufgabe:
[mm]p(X)=x^3+AX^2+BX+C=(X-x_1)(X-x_2)(X-x_3)=X^3-(x_1+x_2+x_3)X^2+(x_1x_2+x_2x_3+x_3x_1)X-x_1x_2x_3[/mm]
(mit [mm] $x_1,x_2,x_3\,>0$)
[/mm]
Damit ist nun:
[mm] $A^2+B^2+18C>0$ [/mm]
[mm]\gdw (x_1+x_2+x_3)^2+(x_1x_2+x_2x_3+x_3x_1)^2-18x_1x_2x_3 > 0[/mm]
[mm]\gdw x_1^2+x_2^2+x_3^2 + 2x_1x_2+2x_2x_3+2x_3x_1 + x_1^2x_2^2+x_2^2x_3^3+x_3^2x_1^2 + 2x_1x_2^2x_3+2x_1x_2x_3^2+2x_1^2x_2x_3 - 18x_1x_2x_3 > 0[/mm]
[mm] \gdw (x_1-x_2x_3)^2+(x_2-x_3x_1)^2+(x_3-x_1x_2)^2 + 2[x_1x_2+x_2x_3+x_3x_1 + x_1x_2x_3^2+x_1^2x_2x_3+x_1x_2^2x_3 -3x_1x_2x_3]>0[/mm]
[mm] \gdw (x_1-x_2x_3)^2+(x_2-x_3x_1)^2+(x_3-x_1x_2)^2 + 2[x_1x_2(1+x_3^2)+x_2x_3(1+x_1^2)+x_3x_1(1+x_2^2)-3x_1x_2x_3]>0 [/mm]
[mm] \gdw (x_1-x_2x_3)^2+(x_2-x_3x_1)^2+(x_3-x_1x_2)^2 + 2[x_1x_2(x_3^2-x_3+1)+x_2x_3(x_1^2-x_1+1)+x_3x_1(x_2^2-x_2+1)]>0 [/mm] [UG#]
Ferner schließt man noch indirekt: für [mm]i\in\{1,2,3\}:\,\,\, x_i<1+x_i^2 \gdw x_i^2-x_i+1>0[/mm]
i) [mm]x_i>1+x_i^2 \Rightarrow x_i>1 \Rightarrow x_i^2>x_i \Rightarrow x_i^2+1>x_i[/mm]
ii) [mm]x_i=1+x_i^2 \gdw x_i=\frac{1}{2}+\wurzel{3}i \vee \frac{1}{2}-\wurzel{3}i \Rightarrow x_i\not\in\IR[/mm]
Damit wird [UG#] trivial!
q.e.d. 
Das einzige, was mich jetzt noch verwirrt, ist, dass ich die Information, dass [mm] x_1=x_2=x_3 [/mm] nicht sein darf, nicht berücksichtigt habe???
Ich selber kann leider keinen Fehler finde ...
Bitte also um kritische Korrektur!
Gruß Samuel
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:02 Mo 28.03.2005 | | Autor: | Hanno |
Hallo Samuel!
> $ [mm] \gdw (x_1-x_2x_3)^2+(x_2-x_3x_1)^2+(x_3-x_1x_2)^2 [/mm] + [mm] 2[x_1x_2+x_2x_3+x_3x_1 [/mm] + [mm] x_1x_2x_3^2+x_1^2x_2x_3+x_1x_2^2x_3 -3x_1x_2x_3]>0 [/mm] $
Muss es nicht [mm] $-6x_1\cdot x_2\cdot x_3$ [/mm] am Ende der Klammer lauten? Sonst komme ich auf $-12$, nicht auf $-18$ als Koeffizient von [mm] $x_1\cdot x_2\cdot x_3$.
[/mm]
Im Übrigen weiß ich auch nicht, warum hier die Einschränkung gemacht wurde, dass nicht [mm] $x_1=x_2=x_3$ [/mm] gelten darf.
Liebe Grüße,
Hanno
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:18 Mo 28.03.2005 | | Autor: | Teletubyyy |
Hallo Hanno,
Hast recht! ist ein peinlicher Rechenfehler...
Verbessert man dies, so geht die Lösung sogar noch elganter! :
Man erhällt dann anstelle von [UG#]:
[mm] $A^2+B^2+18C>0$
[/mm]
[mm] $\gdw [/mm] ...$
[mm]\gdw (x_1-x_2x_3)^2+(x_2-x_3x_1)^2+(x_3-x_1x_2)^2 + 2[x_1x_2(x_3^2-2x_3+1)+x_2x_3(x_1^2-2x_1+1)+x_3x_1(x_2^2-2x_2+1)]>0 [/mm]
[mm]\gdw (x_1-x_2x_3)^2+(x_2-x_3x_1)^2+(x_3-x_1x_2)^2 + 2[x_1x_2(x_3-1)^2+x_2x_3(x_1^2-1)^2+x_3x_1(x_2^2-1)^2]>0 [/mm]
Und jetzt brauch man die vorher vermisste Eigenschaft in der Form, dass nicht [mm] $x_1=x_2=x_3=1$ [/mm] gelten darf (dann wäre nähmlich der Ausdruck = 0)
Gruß Samuel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:25 Mo 28.03.2005 | | Autor: | Hanno |
Hallo Samuel!
Schön!
Wenn ich mich nicht verhaspelt habe, kann man auch, nachdem man wie du alles ausmultipliziert hat, den Term [mm] $18x_1\cdot x_2\cdot x_3$ [/mm] auf die rechte Seite bringen, durch $18$ teilen und ganz brutel die Ungleichung zwischen arithmetischem und geometrischem Mittel anwenden.
Liebe Grüße,
Hanno
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