Aufgabe #26 < Wettbewerbe < Schule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Übungsaufgabe) Übungsaufgabe  | | Datum: | 11:23 Mi 02.03.2005 | | Autor: | Hanno |
Hallo an alle!
Man finde die kleinste positive ganze Zahl $n$, für die das arithmetische Mittel von [mm] $1^2,2^2,...,n^2$ [/mm] eine Quadratzahl ist.
Liebe Grüße,
Hanno
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:41 Mi 02.03.2005 | | Autor: | Loddar |
Hallo Hanno,
ich gehe mal davon aus, daß n=1 von Dir nicht als Lösung akzeptiert wird, oder?!
Ich habe mit Rechnerhilfe aber auch eine andere Zahl ermittelt ...
Grüße
Loddar
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:47 Mi 02.03.2005 | | Autor: | Hanno |
Hallo!
Ja stimmt, n=1 wurde in der Aufgabenstellung ausgeschlossen. Ich habe vergessen, das zu erwähnen. ![[sorry]](/images/smileys/sorry.gif "[sorry]")
Liebe Grüße,
Hanno
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 02:29 So 06.03.2005 | | Autor: | neo2k |
Hi,
Also laut exel-formel lande ich bei n = 337:)
[mm] 337^2 [/mm] = 113569 --> [mm] 1^2....337^2 [/mm] = 12814425 --> /337 = 38025 --> wurzel(..) = 195
MfG
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 05:08 So 06.03.2005 | | Autor: | Peter_Pein |
...sogar mein PC. Die ersten 11 Paare ${n, m}$ mit [mm] $\summe_{k=1}^{n}{k^{2}}=m^2$ [/mm] (inklusive des trivialen $(1,1)$ ) sind laut Mathematica:
| 1: | {{1, 1},
| | 2: | {337, 195},
| | 3: | {65521, 37829},
| | 4: | {12710881, 7338631},
| | 5: | {2465845537, 1423656585},
| | 6: | {478361323441, 276182038859},
| | 7: | {92799630902161, 53577891882061},
| | 8: | {18002650033695937, 10393834843080975},
| | 9: | {3492421306906109761, 2016350381665827089},
| | 10: | {677511730889751597841, 391161580208327374291},
| | 11: | {131433783371304903871537, 75883330210033844785365}}
|
siehe auch ![[]](/images/popup.gif) hier und dort.
Allerdings sind die expliziten Formeln dort ziemlich umständlich angegeben (mit Gauß-Klammer).
etwas einfacher ist:
[mm] $n(i)=\bruch{1}{4}\left(\bruch{1}{2}((7-4 \wurzel{3})^{2 i+1}+(7+4 \wurzel{3})^{2 i+1})-3\right)$ [/mm] und [mm] $m(i)=\bruch{(7+4 \wurzel{3})^{2 i+1}-(7-4 \wurzel{3})^{2 i+1}}{8 \wurzel{3}}$
[/mm]
Einen schönen Sonntag wünscht Euch und sich
Peter
![[a]](/images/paperclip.gif "Dateianhänge") so einfach geht das - sogar ganz ohne Ahnung![[happy]](/images/smileys/happy.gif "[happy]")
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: nb) [nicht öffentlich]
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 11:11 So 06.03.2005 | | Autor: | Hanno |
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Hallo an alle!
Es sei $\frac{1}{n}\summe_{i=1}^{n}{i^2}=\frac{(n+1)(2n+1)}{6}$ eine Quadratzahl. Dann muss $n$ die Form $2n_1+1$ haben, da nur dann der Zähler durch 2 teilbar ist. Es Ergibt sich $\frac{(n_1+1)(4n_1+3)}{3}$. Da der Zähler ein Vielfaches von 3 sein muss, muss entweder $n_1+1$ oder $4n_1+3$ ein Vielfaches von 3 sein. Im ersteren Falle lässt sich $n_1$ als $3n_2+2$ darstellen, was zu $(n_2+1)(12n_2+11)$ führt, was nach eine Quadratzahl sein soll. Wegen $ggT(n_2+1,12n_2+11)=1$, müssen daher $n_2+1$ und $12n_2+11$ Quadratzahlen sein. Für letztere ist dies allerdings nicht möglich, da eine Quadratzahl nie den Rest 3 bei Division durch 4 lässt. Folglich muss $4n_1+3\equiv 0\pmod{3}\Rightarrow \exists n_2\in\IN: n_1=3n_2$ gelten, was zu $(3n_2+1)(4n_2+1)$ führt. Es muss nun $4n_2-1-(3n_2-1)=n_2$ die Differenz zweier Quadratzahlen sein. Dazu sei $d\in\IN$ so gewählt, dass $(\sqrt{3n+1}+d)^2=4n+1\gdw d(2\sqrt{3n_2+1}+d}=n_2$ gilt. Für $d=1$ ergibt sich keine Lösung, wohl aber für $d=2$; nämlich $n_2=56$. Das entsprechende $n$ lautet $337$ und wie sich leicht prüfen lässt (und wie schon angegeben wurde) erfüllt $n=337$ tatsächlich die geforderte Bedingung.
Liebe Grüße,
Hanno
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:03 Mi 09.03.2005 | | Autor: | Stefan |
Lieber Hanno!
Ich habe leider keine Zeit mich ausführlich mit den Aufgaben und Lösungsvorschlägen zu beschäftigen, möchte aber, dass diese ganz Masse an Aufgaben mal abgearbeitet wird, daher frage ich dich mal direkt, ohne groß darüber selber nachzudenken:
> Es muss nun
> [mm]4n_2-1-(3n_2-1)=n_2[/mm] die Differenz zweier Quadratzahlen
> sein.
Wo geht diese Überlegung später ein?
> Dazu sei [mm]d\in\IN[/mm] so gewählt, dass
> [mm](\sqrt{3n+1}+d)^2=4n+1\gdw d(2\sqrt{3n_2+1}+d}=n_2[/mm] gilt.
> Für [mm]d=1[/mm] ergibt sich keine Lösung,
Wie hast du das eingesehen? Könntest du die Rechnung bitte nachliefern? Einfach die quadratische Gleichung gelöst?
Danke! 
Liebe Grüße
Stefan
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:33 Mi 09.03.2005 | | Autor: | Hanno |
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Hallo Stefan, hallo an alle!
> Es muss nun
> $ 4n_2-1-(3n_2-1)=n_2 $ die Differenz zweier Quadratzahlen
> sein.
> Wo geht diese Überlegung später ein?
Die Differenz zweier Quadratzahlen $a^2,(a+d)^2$ hat die Form $(a+d)^2-a^2=d(2a+d)$, diese Überlegung setze ich nun im Folgenden um.
> Dazu sei $ d\in\IN $ so gewählt, dass
> $ (\sqrt{3n+1}+d)^2=4n+1\gdw d(2\sqrt{3n_2+1}+d}=n_2 $ gilt.
> Für $ d=1 $ ergibt sich keine Lösung,
> Wie hast du das eingesehen? Könntest du die Rechnung bitte nachliefern?
$n_2=d(2\sqrt{3n_2+1}+d)$
$\gdw n_2^2-d^2=2d\sqrt{3n_2+1}$
$\gdw n_2^2-2n_2 d^2+d^4=4d^2(3n_2+1)$
$\gdw n_2^2-n_2(2d^2+12d^2)+d^4-4d^2=0$
$n_2=7d^2\pm\sqrt{49d^4-d^4+4d^2}$
$n_2=7d^2\pm 2d\cdot \sqrt{12d^2+1}$
Für d=1 ergibt sich keine Lösung, für $d=2$ wohl, und zwar die schon genannte, nämlich $n_2=56$. Richtig begründen, warum dies das kleinstmögliche $n_2$ ist, kann ich jedoch nicht wirklich :-(
Liebe Grüße,
Hanno
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 09:07 Do 10.03.2005 | | Autor: | Stefan |
Lieber Hanno!
> Die Differenz zweier Quadratzahlen [mm]a^2,(a+d)^2[/mm] hat die Form
> [mm](a+d)^2-a^2=d(2a+d)[/mm], diese Überlegung setze ich nun im
> Folgenden um.
Aha, das habe ich nicht gesehen. Vielleicht könntest du das demnächst etwas ausführlicher aufschreiben, für Dummies wie mich? Danke! Verwirrt hatte mich zudem, dass du erst schreibst [mm] $(4n_2-1)-(3n_2-1)$ [/mm] ist die Differenz zweier Quadrate, aber dann mit [mm] $4n_2+1$ [/mm] und [mm] $3n_2+1$ [/mm] weiterrechnest.
Aber jetzt ist es mir klar, was du da machst. Danke!
> > Dazu sei [mm]d\in\IN[/mm] so gewählt, dass
> > [mm](\sqrt{3n+1}+d)^2=4n+1\gdw d(2\sqrt{3n_2+1}+d}=n_2[/mm]
> gilt.
> > Für [mm]d=1[/mm] ergibt sich keine Lösung,
> > Wie hast du das eingesehen? Könntest du die Rechnung
> bitte nachliefern?
>
>
> [mm]n_2=d(2\sqrt{3n_2+1}+d)[/mm]
> [mm]\gdw n_2^2-d^2=2d\sqrt{3n_2+1}[/mm]
> [mm]\gdw n_2^2-2n_2 d^2+d^4=4d^2(3n_2+1)[/mm]
>
> [mm]\gdw n_2^2-n_2(2d^2+12d^2)+d^4-4d^2=0[/mm]
>
> [mm]n_2=7d^2\pm\sqrt{49d^4-d^4+4d^2}[/mm]
> [mm]n_2=7d^2\pm 2d\cdot \sqrt{12d^2+1}[/mm]
Okay, vielen Dank (ich muss zugeben, dass ich dazu zu faul war und mir die Zeit fehlte). 
> Für d=1 ergibt sich keine Lösung, für [mm]d=2[/mm] wohl, und zwar
> die schon genannte, nämlich [mm]n_2=56[/mm]. Richtig begründen,
> warum dies das kleinstmögliche [mm]n_2[/mm] ist, kann ich jedoch
> nicht wirklich :-(
Stimmt, das ist irgendwie noch nicht bewiesen. Es könnte ja für größere $d$'s kleinere $n$'s geben, die dazu passen. Also lassen wir die Aufgabe mal weiter offen. Ich denke das ist schon noch zu schaffen, diesen letzten Schritt nachzuweisen.
Liebe Grüße
Stefan
|
|
|
|
