Aufgabe #24 < Wettbewerbe < Schule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Übungsaufgabe) Übungsaufgabe  | | Datum: | 11:00 Di 01.03.2005 | | Autor: | Hanno |
Hallo an alle!
Quelle: IMO 1990
Man gebe eine Funktion [mm] $f:\IQ^+\to\IQ^+$ [/mm] an, für die [mm] $f(x\cdot f(y))=\frac{f(x)}{y}$ [/mm] für alle [mm] $x,y\in\IQ^+$ [/mm] gilt.
Ich habe die Aufgabe noch nicht lösen können, finde sie aber interessant und habe sie daher hier gpeostet. Hoffentlich schafft sie einer von uns.
Liebe Grüße,
Hanno
|
|
| |
|
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Hl Hanno!
Wirklich nette und interessante Aufgabe!!!
zuerst einmal erhällt man indem man y=1:
$f(x*f(1))=f(x) \Rightarrow f(1)=1$
mit $f(1*f(y))=\frac{1}{y}$ erhällt man:
$f(f(x))=\frac{1}{x}$ (*)
ferner erhällt man mit $y=\frac{1}{k}$:
$f(x*f(f(1/k)))=f(x*k)=\frac{f(x)}{f(1/k)}=f(x)*f(k)$, also:
$f(x*k)=f(x)f(k)$ (**)
um (**) zu erfüllen stellt man x durch Primfaktoren dar und erhällt:
$f(p_1^{n_1}*p_2^{n_2}*...*p_m^{n_m})=[f(p_1)]^{n_1}[f(p_2)]^{n_2}*...*[f(p_m)]^{p_m}$ (1)
p_i ist hierbei die i-te Primzahl und n_i eine ganze Zahl. (i = 1,...,m)
Um noch (*) zu erfüllen kann man eine Fallunterscheidung wie folgt machen:
$f(p_i)=p_{i+1}$; wenn i ungerade ist (2a)
$f(p_i)=\frac{1}{p_{i-1}$; wenn i gerade ist. (2b)
Denn damit ist $f(f(p))=\frac{1}{p}$
Somit wäre auch (*) erfüllt und mit (1) und (2a,b) die gesuchte Funktion beschrieben 
Gruß Samuel
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:42 Do 03.03.2005 | | Autor: | Hanno |
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Hallo Samuel!
> zuerst einmal erhällt man indem man y=1:
> $ f(x\cdot{}f(1))=f(x) \Rightarrow f(1)=1 $
Die Implikation ist nicht richtig. Sie gilt nur dann, wenn $f$ injektiv ist, d.h. wenn es keine zwei $a,b\in\IQ^+$ mit $a\not= b$ und $f(a)=f(b)$ gibt. Davon ist hier allerdings nicht die Rede. Du darfst es allerdings voraussetzen, denn schließlich sollst du eine Funktion konstruieren, da stehen dir ja alle Möglichkeiten offen.
> $ f(x\cdot{}f(f(1/k)))=f(x\cdot{}k)=\frac{f(x)}{f(1/k)}=f(x)\cdot{}f(k) $, also:
>Y$ f(x\cdot{}k)=f(x)f(k) $ (**)
Mhh, gute Idee ![[respekt]](/images/smileys/respekt.gif "[respekt]") Du verwendest hier, dass $f(y)=f(f(f(1/y)))=f(1\cdot f(f(1/y)))=\frac{f(1)}{f(1/y)}=\frac{1}{f(1/y)}$ gilt, oder? Wirklich cool :)
Interessant, dass dies einzig und allein aus der Voraussetzung $f(1)=1$ folgt, das ist klasse. Die Idee, das ganze als einen Homomorphismus auf der abelschen Gruppe $\IQ^+=(\IR^+\setminus\{ 0\},\cdot )$ aufzufassen (dass also $f(x\cdot y)=f(x)\cdot f(y)$ gilt) und $f(f(x))=\frac{1}{x}$ vorauszusetzen, war mir auch schon gekommen, hat mich aber zu keinem Ergebnis geführt, da ich es nach anstrengendem Überlegen nicht fertig gebracht habe, mir zu überlegen, wie man aus einen Bruch in zwei Schritten seinen Kehrwert bilden kann.
> um (**) zu erfüllen stellt man x durch Primfaktoren dar und erhällt:
> $ f(p_1^{n_1}\cdot{}p_2^{n_2}\cdot{}...\cdot{}p_m^{n_m})=[f(p_1)]^{n_1}[f(p_2)]^{n_2}\cdot{}...\cdot{}[f(p_m)]^{p_m} $ (1)
> $ p_i $ ist hierbei die i-te Primzahl und $ n_i $ eine ganze Zahl. (i = 1,...,m)
> Um noch (*) zu erfüllen kann man eine Fallunterscheidung wie folgt machen:
> $ f(p_i)=p_{i+1} $; wenn i ungerade ist (2a)
> $ f(p_i)=\frac{1}{p_{i-1} $; wenn i gerade ist. (2b)
Wow, ich glaube, dass ich jetzt verstanden habe, was du meinst - absolut genial! :) ![[respekt2]](/images/smileys/respekt2.gif "[respekt2]")
Wirklcih toll!
Liebe Grüße,
Hanno
|
|
|
|
