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(Übungsaufgabe) Übungsaufgabe  | | Datum: | 13:10 Fr 30.03.2007 | | Autor: | Sigrid |
Bei der Flugsicherung des Sportflughafens herrscht
Alarmzustand:
Bert Bruch hat sich soweit von den Folgen seiner letzten
Landung erholt, dass er wieder in einem Flugzeug sitzen kann.
Er befindet sich derzeit im Anflug auf die Landebahn mit den
Eckpunkten
A(80|400|2), B(100|400|2), C(80|1200|6) und D(100|1200|6)
(1 Einheit [mm] $\hat= [/mm] 1$ m)
Berts Flugbahn zur Landung verläuft entlang einer Geraden. Er befindet sich zum Zeitpunkt t (in s) im Punkt X(t) mit
$ [mm] \vec{x}(t) [/mm] = [mm] \vektor{100 \\ - 2550 \\ 228,75} [/mm] + t [mm] \cdot \vektor{-0,1 \\ 22 \\ -1,5} [/mm] $
a) Zeigen Sie, dass die vier Eckpunkte der Landebahn in einer Ebene liegen und ein Rechteck bilden.
b) Bestimmen Sie den Abstand der Flugbahn von der (näherungsweise als punktförmig betrachteten) Flugsicherung in F(0|0|8 ).
c) Damit Bert nicht schon wieder eine Bruchlandung macht, muss er natürlich im Bereich der Landebahn aufsetzen. Seine oben angegebene Flugbahn darf beim Aufsetzen nicht um mehr als 6° gegen die Landebahn geneigt sein.
Prüfen Sie, ob Bert beiden Bedingungen gerecht wird und es diesmal schafft.
d) Auch ein zweites Flugzeug im Bereich des Sportflughafens bewegt sich entlang einer Geraden. Es befindet sich zum Zeitpunkt t im Punkt Y(t) mit
$ [mm] \vec{y}(t) [/mm] = [mm] \vektor{53\\ - 410 \\ 43,75} [/mm] + t [mm] \cdot \vektor{2 \\ -30 \\ 4} [/mm] $
Weisen Sie nach, dass die Flugbahn von Bert Bruchs Flugzeug die Flugbahn dieses Flugzeuges schneidet.
Begründen Sie, dass es trotzdem nicht zu einem Zusammenstoß beider Flugzeuge kommt.
e) Berechnen Sie, wo sich die beiden Flugzeuge zum Zeitpunkt t = 50 befinden.
Berechnen Sie außerdem den Abstand der beiden Flugzeuge zu diesem Zeitpunkt.
f) Bestimmen Sie den Abstand d(t) der beiden Flugzeuge zu einem beliebigen Zeitpunkt t.
Ermitteln Sie, zu welchem Zeitpunkt die beiden Flugzeuge ihren kleinsten Abstand haben.
![[]](/images/popup.gif) Aufgabensammlung genehmigter Abituraufgaben 2006, die auch die Vorgaben des Zentralabiturs 2007 erfüllen (PDF-Datei), Aufgabe 21.
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a)
E: x = [mm] \begin{pmatrix} 800 \\ 400 \\ 2 \end{pmatrix} [/mm] + r * [mm] \begin{pmatrix} 20 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} [/mm] + s * [mm] \begin{pmatrix} 0 \\ 800 \\ 4 \end{pmatrix}
[/mm]
Koordinatenform:
n = [mm] \begin{pmatrix} 0 \\ -80 \\ 16000 \end{pmatrix}
[/mm]
d - Bestimmung:
d = 0
=> E: -80x2 + 16000x3 = 0
Probe ob D in dieser Ebene liegt:
-80 * 1200 + 16000 * 6 = 0 <=> 0 = 0 (True)
Beweis: Rechteck:
In einem Rechteck sind die gegenueberliegenden Seiten gleich lang oder die Innenwinkel betragen alle 90°. Zweiteres haette man jeweils mit Geradengleichungen und dem Skalarprodukt loesen koennen, da das Skalarprodukt dann "0" ergeben muesste. Ich fand die erste Methode aber bischen schneller:
s1 = AB = [mm] \wurzel{400}
[/mm]
s2 = BC = [mm] \wurzel{640416}
[/mm]
s3 = CD = [mm] \wurzel{400}
[/mm]
s4 = AD = [mm] \wurzel{640416}
[/mm]
Wie man sieht sind alle Seiten gleich lang. Somit handelt es sich bei dem von A, B, C, D definierten Gebilde um ein Rechteck.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:10 Mi 11.04.2007 | | Autor: | Sigrid |
Hallo evilmaker,
> a)
>
> E: x = [mm]\begin{pmatrix} 800 \\ 400 \\ 2 \end{pmatrix}[/mm] + r *
> [mm]\begin{pmatrix} 20 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}[/mm] + s *
> [mm]\begin{pmatrix} 0 \\ 800 \\ 4 \end{pmatrix}[/mm]
Kleiner Tippfehler: Die erste Komponente des Stützvektors ist 80, nicht 800.
Du kannst, wenn du willst, die Gleichung noch vereinfachen:
$ E: [mm] \vec{x} [/mm] = [mm] \begin{pmatrix} 80 \\ 400 \\ 2 \end{pmatrix} [/mm] + r * [mm] \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} [/mm] + s * [mm] \begin{pmatrix} 0 \\ 200 \\ 1 \end{pmatrix} [/mm] $
notwendig ist das aber nicht.
>
> Koordinatenform:
>
> n = [mm]\begin{pmatrix} 0 \\ -80 \\ 16000 \end{pmatrix}[/mm]
hier könntest du auch den Vektor
$ [mm] \vec{n} =\begin{pmatrix} 0 \\ -1 \\ 200 \end{pmatrix} [/mm] $
>
> d - Bestimmung:
>
> d = 0
>
> => E: -80x2 + 16000x3 = 0
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> Probe ob D in dieser Ebene liegt:
>
> -80 * 1200 + 16000 * 6 = 0 <=> 0 = 0 (True)
>
> Beweis: Rechteck:
>
> In einem Rechteck sind die gegenueberliegenden Seiten
> gleich lang oder die Innenwinkel betragen alle 90°.
Vorsicht. Die beiden Bedingungen sind nicht äquivalent, da bei jedem Parallelogramm die gegenüberliegenden Seiten gleich lang sind. Du kommst also am Nachweis der rechten Winkel nicht vorbei.
> Zweiteres haette man jeweils mit Geradengleichungen und dem
> Skalarprodukt loesen koennen, da das Skalarprodukt dann "0"
> ergeben muesste. Ich fand die erste Methode aber bischen
> schneller:
Du brauchst nur die Seitenvektoren, und die brauchst du bei der Längenberechnung ja auch.
>
> s1 = AB = [mm]\wurzel{400}[/mm]
> s2 = BC = [mm]\wurzel{640416}[/mm]
> s3 = CD = [mm]\wurzel{400}[/mm]
> s4 = AD = [mm]\wurzel{640416}[/mm]
>
> Wie man sieht sind alle Seiten gleich lang.
Nicht alle, nur die gegenüberliegenden.
> Somit handelt
> es sich bei dem von A, B, C, D definierten Gebilde um ein
> Rechteck.
um ein Parallelogramm (s.o.)
Gruß
Sigrid
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