Aufgabe #21 < Wettbewerbe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Übungsaufgabe) Übungsaufgabe  | | Datum: | 16:35 So 27.02.2005 | | Autor: | Hanno |
Hallo an alle!
Es seien [mm] $a,b,c,d\in \IR$ [/mm] mit
[mm] $\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{d}+\frac{d}{a}=4$ [/mm] und $ab=cd$.
Man bestimme den maximalen Wert von [mm] $\frac{a}{c}+\frac{b}{d}+\frac{c}{a}+\frac{d}{b}$.
[/mm]
Liebe Grüße,
Hanno
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:00 Mo 28.02.2005 | | Autor: | moudi |
Hallo Hanno
Könnte es sein, dass das Maximum 4 ist?
mfG Moudi
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:55 Mo 28.02.2005 | | Autor: | Hanno |
Huhu!
Japp, das habe ich auch raus.
Liebe Grüße,
Hanno
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Hallo Hanno.
Aus [mm]ab=cd[/mm] folgt:
I [mm]\frac{a}{c}=\frac{d}{b}[/mm]
II [mm]\frac{c}{a}=\frac{b}{d}[/mm]
III [mm]\frac{b}{c}=\frac{d}{a}[/mm]
IV [mm]d=\frac{ab}{c}[/mm]
Wegen I und II gilt:
[mm]\frac{a}{c}+\frac{b}{d}+\frac{c}{a}+\frac{d}{b}=2\frac{a}{c}+2\frac{c}{a}[/mm]
Wegen III und IV gilt:
[mm]\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{d}+\frac{d}{a}=4[/mm]
[mm]\Leftrightarrow \frac{a}{b}+2\frac{b}{c}+\frac{c}{d}=4[/mm]
[mm]\Leftrightarrow \frac{a}{b}+2\frac{b}{c}+\frac{c^2}{ab}=4[/mm]
Beide Seiten mit [mm]\frac{bc}{2}[/mm] multipliziert ergibt sich:
[mm]\frac{ac}{2}+b^2+\frac{c^3}{2a}=2bc[/mm]
[mm]\Leftrightarrow b^2-2bc+\frac{ac}{2}+\frac{c^3}{2a}=0[/mm]
[mm]b^2=c\pm\sqrt{c^2-\frac{ac}{2}-\frac{c^3}{2a}}[/mm]
Der Term unter der Wurzel entspricht
[mm]-\frac{c}{2a}(c-a)^2[/mm]
Daher muss (damit der Term nicht negativ wird) entweder
(1) c=a gelten
oder
(2) a und c müssen verschiedene Vorzeichen haben
In Fall 1 ergibt sich:
[mm]2\frac{a}{c}+2\frac{c}{a}=4[/mm]
In Fall 2 ist der Term [mm]2\frac{a}{c}+2\frac{c}{a}[/mm] negativ und somit kleiner als in Fall 1.
Daher ist der Maximalwert 4.
Zugegeben, der Lösungsweg ist etwas umständlich. Vielleicht hat ja jemand eine elegantere Lösung parat.
MfG
Jan
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:46 Mo 07.03.2005 | | Autor: | moudi |
Hallo Jan
Ich habe die Aufgabe auf die genau gleiche Art gelöst (Modulo technische Details).
Ich finde die Lösung nicht unelegant.
Interessant ist die Lösung, denn in genau 1 Fall ist der Wert positiv, während sie in allen anderen Fällen negativ ist. Das heisst doch, dass man (wahrscheinlich) mit Differentialrechnung nicht ans Ziel kommt!
mfG Moudi
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:06 Mo 07.03.2005 | | Autor: | Hanno |
Hallo Jan, hallo moudi!
Ich finde die Lösung auch sehr schön - elementar, aber (oder gerade daher) schön und sehr kreativ - auch die Faktorisierung, die mag ich ja bekanntlich sehr ;)
Meine Überlegungen waren folgende:
[mm] $1=\frac{4}{4}=\frac{\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{d}+\frac{d}{a}}{4}\geq\sqrt[4]{\frac{a}{b}\cdot\frac{b}{c}\cdot\frac{c}{d}\cdot\frac{d}{a}}=1$.
[/mm]
Da Gleichheit zwischen dem arithmetischen und dem geometrischen Mittel gilt, muss [mm] $\frac{a}{b}=\frac{b}{c}=\frac{c}{d}=\frac{d}{a}=1\Rightarrow [/mm] a=b=c=d=1$ gelten. Somit muss $ [mm] \frac{a}{c}+\frac{b}{d}+\frac{c}{a}+\frac{d}{b} [/mm] =4$ gelten.
Wo steckt hier der Fehler? Das kann doch nicht richtig sein, denn schließlich benötige ich die Vorgabe $ac=bd$ gar nicht :-/ Hab wahrscheinlich Tomaten auf den Augen :-(.
Liebe Grüße,
Hanno
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:51 Mo 07.03.2005 | | Autor: | Stefan |
Lieber Hanno!
> [mm]1=\frac{4}{4}=\frac{\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{d}+\frac{d}{a}}{4}\geq\sqrt[4]{\frac{a}{b}\cdot\frac{b}{c}\cdot\frac{c}{d}\cdot\frac{d}{a}}=1[/mm].
>
> Da Gleichheit zwischen dem arithmetischen und dem
> geometrischen Mittel gilt, muss
> [mm]\frac{a}{b}=\frac{b}{c}=\frac{c}{d}=\frac{d}{a}=1\Rightarrow a=b=c=d=1[/mm]
> gelten.
Nein, daraus folgt nur $a=b=c=d$, aber warum sollte dies gleich $1$ sein?
Aber auch dann wäre der folgende Schritt wieder richtig, das stimmt schon:
> [mm]\frac{a}{c}+\frac{b}{d}+\frac{c}{a}+\frac{d}{b} =4[/mm]
> gelten.
Insofern hast du meiner Meinung nach Recht. Man braucht diese Voraussetzung gar nicht...
War Quatsch, siehe die Mitteilung von moudi. ![[sorry]](/images/smileys/sorry.gif "[sorry]")
Liebe Grüße
Stefan
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:00 Mo 07.03.2005 | | Autor: | Hanno |
Hallo Stefan!
Huch, eine kleine Unachtsamkeit von mir - klar!
Danke.
Liebe Grüße,
Hanno
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:46 Mo 07.03.2005 | | Autor: | moudi |
> Hallo Jan, hallo moudi!
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> Ich finde die Lösung auch sehr schön - elementar, aber
> (oder gerade daher) schön und sehr kreativ - auch die
> Faktorisierung, die mag ich ja bekanntlich sehr ;)
>
> Meine Überlegungen waren folgende:
>
>
> [mm]1=\frac{4}{4}=\frac{\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{d}+\frac{d}{a}}{4}\geq\sqrt[4]{\frac{a}{b}\cdot\frac{b}{c}\cdot\frac{c}{d}\cdot\frac{d}{a}}=1[/mm].
>
> Da Gleichheit zwischen dem arithmetischen und dem
> geometrischen Mittel gilt, muss
> [mm]\frac{a}{b}=\frac{b}{c}=\frac{c}{d}=\frac{d}{a}=1\Rightarrow a=b=c=d=1[/mm]
> gelten. Somit muss
> [mm]\frac{a}{c}+\frac{b}{d}+\frac{c}{a}+\frac{d}{b} =4[/mm]
> gelten.
Hallo Hanno
Ich denke das gilt nur, wenn die Zahlen positiv sind! Das war aber keine Voraussetzung an die Zahlen a, b, c, d.
Für negative a,b ist [mm] $\frac{a+b}2<\sqrt{ab}$.
[/mm]
Wenn du annimmst, dass a, b, c, d positiv sind, dann brauchst du die zweite Voraussetzung nicht!
Ist es klar, dass a, b, c, d alle positiv sein müssen?
mfG Moudi
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> Wo steckt hier der Fehler? Das kann doch nicht richtig
> sein, denn schließlich benötige ich die Vorgabe [mm]ac=bd[/mm] gar
> nicht :-/ Hab wahrscheinlich Tomaten auf den Augen :-(.
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> Liebe Grüße,
> Hanno
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