Aufgabe #20 < Wettbewerbe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Übungsaufgabe) Übungsaufgabe  | | Datum: | 13:30 So 27.02.2005 | | Autor: | Hanno |
Hallo an alle!
Die Funktion [mm] $f:\IN\to\IN$ [/mm] genüge den folgenden Bedingungen:
a.) [mm] $f(x\cdot [/mm] y)=f(x)+f(y)-1$ für alle [mm] $x,y\in \IN$
[/mm]
b.) Es gibt nur endlich viele [mm] $x\in \IN$ [/mm] mit $f(x)=1$
c.) $f(30)=4$
Man bestimme $f(14400)$.
Liebe Grüße,
Hanno
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HI Hanno,
Ich hab die Aufgabe gerade erst gesehen und mir ist da relativ spontan ne Lösung gekommen.
mit [mm] $k\in \IN;k\not=1$ [/mm] stellt f(k)=1 einen widerspruch dar, da dann auch [mm]f(k^{2^n})=1[/mm]
Auch darf $f(k)=0$ nicht sein, da dann [mm] $f(k^2)=-1$.
[/mm]
[mm]f(30)=f(6)+f(5)-1=f(2)+f(3)+f(5)=4 \gdw f(2)+f(3)+f(5)=6 \Rightarrow f(2)=f(3)=f(5)=2[/mm]
Und jetzt hat man die Aufgabe eigentlich schon gelöst, da [mm] $14400=12^2*100$
[/mm]
$f(4)=f(2*2)=f(2)+f(2)-1=3$; $f(12)=f(3*4)=f(3)+f(4)-1=4$;
$f(144)=f(12*12)=f(12)+f(12)-1=7$
$f(10)=f(2*5)=f(2)+f(5)-1=3$; $f(100)=f(10*10)=f(10)+f(10)-1=5$
$f(14400)=f(144*100)=f(144)+f(100)-1=11$
Ich hoffe mal, dass die Lösung jetzt nicht zu spontan (und damit falsch) geraten ist.
Gruß Samuel
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 06:48 Mo 28.02.2005 | | Autor: | Hanno |
Hallo ihr zwei!
Alles richtig, so ähnlich hab ichs auch!
Liebe Grüße,
Hanno
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