Aufgabe 1 Statistik < Wahrscheinlichkeitstheorie < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Es bezeichnen X die Zufällige (absolutstetige) Lebensdauer eines Elements / Systems,
F und f deren Verteilungsfunktion und Dichte. Die Größe
h(t) := [mm] \limes_{h \downarrow 0} \bruch{P(X \le t + h | X > t)}{h} [/mm] = [mm] \bruch{f(t)}{1 - F(t)}
[/mm]
wird Ausfallrate gennant und ist ein Maß für die Ausfallanfälligkeit
des Elements / Systems nach Erreichen des Alters t.
a) Zeigen Sie, dass gilt:
1 - F(t) = exp{ [mm] -\integral_{0}^{t}{h(s) ds} [/mm] } , t [mm] \ge [/mm] 0 . (1)
Wir betrachten nun n (n [mm] \ge [/mm] 1) in Reihe geschaltete Bauelemente mit absolutstetigen
Lebensdauern [mm] X_{1}, [/mm] ... , [mm] X_{n} [/mm] mit Verteilungsfunktionen [mm] F_{i} [/mm] und Dichten [mm] f_{i},
[/mm]
i= 1, ... , n . Die Lebensdauern der Bauelemente seien unabhängig.
b) Wie hängt die Ausfallrate der Reihenschaltung von den Ausfallraten [mm] h_{i}, [/mm] der
einzelnen Bauelemente ab?
c) Welche Ausfallrate der Reihenschaltung erhält man, wenn die Lebensdauern
[mm] X_{i} [/mm] identisch Weibull-verteilt sind mit
[mm] f_{i}(t) [/mm] = [mm] bt^{b-1}exp(- t^{b}) [/mm] , t [mm] \ge [/mm] 0 ,
wobei b ein positiver Parameter ist. |
Hallo Mathe-freunde,
Ich habe eine große Schwierigkeit dieser Aufgabe zu lösen. Ich vermute es
geht um Exponentialverteilung mit Parameter [mm] \lambda [/mm] = h(t) .Ich habe alle
möglichen Umformungen gemacht um die Aussage a) zu zeigen, aber mit
keinem Erfolg. Eure Hilfe ist sehr willkommen.
# Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:26 So 10.06.2007 | | Autor: | zerocool |
Ich hab die a) Aussage bewiesen! Also nur b) und c) bleiben noch.
Wir haben
h(t) = [mm] \bruch{f(t)}{1 - F(t)} [/mm]
Ich betrachte, dass -f(t) = [mm] \bruch{d}{dt}(1 [/mm] - F(t)) , also
= - [mm] \bruch{d}{dt}ln(1-F(t))
[/mm]
Nach Integrierung auf beide Seiten erhalte ich:
ln(1-F(t)) = - [mm] \integral_{0}^{t}{h(s)ds} [/mm] + C
und weil F(0) = 0 [mm] \Rightarrow [/mm] C = 0
ln(1-F(t)) = - [mm] \integral_{0}^{t}{h(s)ds}
[/mm]
jetzt mit exp() auf beide Seiten
1 - F(t) = [mm] exp(-\integral_{0}^{t}{h(s)ds})
[/mm]
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:20 Di 12.06.2007 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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