Aufgabe #15 < Wettbewerbe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Übungsaufgabe) Übungsaufgabe  | | Datum: | 09:34 So 20.02.2005 | | Autor: | Hanno |
Hallo an alle!
Quelle: Irische Mathematik Olympiade 1996
Sei $p$ eine Primzahl und $a,n$ positive, ganze Zahlen. Beweise: wenn [mm] $2^p+3^p=a^n$ [/mm] gilt, dann ist $n=1$.
Liebe Grüße,
Hanno
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:31 Mo 21.02.2005 | | Autor: | moudi |
Hallo Hanno
Ich behandle die Fälle p=2, p=3, p=5 gesondert:
[mm] $2^2+3^2=13$
[/mm]
[mm] $2^3+3^3=35=5\cdot [/mm] 7$
[mm] $2^5+3^5=275=5^2\cdot [/mm] 11$
Sei weiter p eine Prinzahl und p>5. Ich behaupte, dass dann [mm] $2^p+3^p$ [/mm] durch 5 teilbar ist, aber nicht durch [mm] $5^2$. [/mm] Daraus folgt dann, dass n=1 sein muss.
Beweis meiner Behauptung: Da p ungerade ist und allgemein [mm] $a^p+b^p$ [/mm] durch a+b teilbar ist, wenn p ungerade ist, folgt angewendet auf unsere Situation (a=2, b=3), dass [mm] $2^p+3^p$ [/mm] durch 5 teilbar ist.
Weiter gibt es Zahlen l ungerade und [mm] $k\in\{1,2,3,4,6,7,8,9\}$ [/mm] so, dass p=5l+k, da p nicht durch 5 teilbar ist. Es gilt dann:
[mm] $2^p+3^p=2^{5l+k}+3^{5l+k}=2^k\cdot (2^5)^l+3^k\cdot(3^5)^l= 2^k\cdot\underbrace{((2^5)^l+(3^5)^l)}_{\dagger}+\underbrace{(3^k-2^k)}_{\ddagger}\cdot3^{5l}$
[/mm]
Nun (weil l ungerade ist) ist [mm] $(\dagger)$ [/mm] durch [mm] $2^5+3^5=275$ [/mm] und somit durch 25 teilbar. Aber [mm] $(\ddagger)$ [/mm] ist nicht durch 25 teilbar (und [mm] $3^{5l}$ [/mm] nicht durch 5), was man folgender Liste entnehmen kann:
$3-2=1$
[mm] $3^2-2^2=5$
[/mm]
[mm] $3^3-2^3=19$
[/mm]
[mm] $3^4-2^4=65$
[/mm]
[mm] $3^6-2^6=665$
[/mm]
[mm] $3^7-2^7=2059$
[/mm]
[mm] $3^8-2^8=6305$
[/mm]
[mm] $3^9-2^9=19171$.
[/mm]
Deshalb ist die Summe nicht durch 25 teilbar wie behauptet.
mfG Moudi
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 08:53 Do 24.02.2005 | | Autor: | Christian |
Klingt einleuchtend.
Gruß,
Christian
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Da wäre ich nie im Leben drauf gekommen.
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