Aufgabe #13 < Wettbewerbe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Übungsaufgabe) Übungsaufgabe  | | Datum: | 09:31 So 20.02.2005 | | Autor: | Hanno |
Hallo an alle!
Quelle: Irische Mathematik Olympiade 1995
Sei [mm] $n\in \IN$. [/mm] Man beweise:
[mm] $n^n\leq (n!)^2\leq \left(\frac{(n+1)(n+2)}{6}\right) [/mm] ^n$
Liebe Grüße,
Hanno
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:22 Mi 23.02.2005 | | Autor: | Hanno |
Hallo an alle!
Teilbehauptung [mm] $n^n\leq (n!)^2$
[/mm]
Der Beweis erfolgt über Induktion. Die Induktionsverankerung mit $n=1$ ist trivial. Sei die Behauptung für $n$ korrekt, dann ist [mm] $(n+1)^{n+1}=(n+1)^n\cdot [/mm] (n+1)$. Wegen [mm] $\left( 1+\frac{1}{n}\right) ^{n}
Teilbehauptung [mm] $(n!)^2\leq \left(\frac{(n+1)(n+2)}{6}\right) [/mm] ^n$
Äquivalent zur zu beweisenden Ungleichung ist
[mm] $\sqrt[n]{(1\cdot n)(2\cdot (n-1))\cdots (n\cdot 1)}\leq\frac{(n+1)(n+2)}{6}$
[/mm]
Wegen der Ungleichung zwischen geometrischem und arithmetischen Mittel kann die linke Seite nach oben durch [mm] $\frac{\summe_{i=1}^{n}{i(n-i+1)}}{n}=\frac{n(n+1)}{2}-\frac{(n+1)(2n+1}{6}+\frac{(n+1)}{2}$ [/mm] abgeschätzt werden, wodurch die stärkere Ungleichung
[mm] $\frac{n(n+1)}{2}-\frac{(n+1)(2n+1}{6}+\frac{(n+1)}{2}<\frac{(n+1)(n+2)}{6}$
[/mm]
erzeugt wird. Deren Richtigkeit kann nun leicht gezeigt werden.
Zusammen folgt die Behauptung.
Liebe Grüße,
Hanno
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:02 Do 24.02.2005 | | Autor: | moudi |
Hallo Hanno
Den Schlüssel für die zweite Ungleichung - die Benutzung der Ungleichung über das arithmetische und geometrische Mittel - habe ich nicht gesehen (Chapeau!).
Allerding kann man den ersen Teil auch direkt - d.h. ohne Induktion - und wie ich finde auch einfacher beweisen:
Ich habe wie du die Faktoren von [mm] $(n!)^2$ [/mm] zusammengefasst, so dass sich [mm] $(n!)^2=\prod_{i=1}^n [/mm] i(n+1-i)$ ergibt. Es ist leicht einzusehen, dass [mm] $i(n+1-i)\geq [/mm] n$ ist. Dies ist klar für $i=1$ und für $i=n$ (gilt Gleichheit). Im Uebrigen ist [mm] $i(n+1-i)=-i^2+(n+1)i$ [/mm] eine quadratische Funktion für die Variable i (!). Der Graph ist eine nach unten geöffnete Parabel, so dass die Funktionswerte für i zwichen 1 und n grösser sind als für i=1 und i=n, d.h. für solche i ist $i(n+1-i)>n$.
Wenn alle Faktoren grösser gleich $n$ ist, so ist auch das Produkt grösser gleich [mm] $n^n$.
[/mm]
Beim zweiten Teil bin ich mit deinem Argument einverstanden, aber nicht mit deiner Rechnung, denn meiner Meinung nach ist:
[mm]\frac1n\sum_{i=1}^n i(n+1-i)=\frac1n\sum_{i=1}^n (n+1)i-i^2=\frac{n+1}n\sum_{i=1}^n i- \frac1n\sum_{i=1}^n i^2=\frac{n+1}n\cdot\frac{n(n+1)}2-\frac1n\cdot\frac{n(n+1)(2n+1}{6}= \frac{(n+1)(n+2)}6[/mm]
Oder habe ich dich falsch verstanden?
mfG Moudi
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:13 Do 24.02.2005 | | Autor: | Hanno |
Hallo Moudi!
Ja, deine Lösung zur ersten Ungleichung ist deutlich eleganter ![[respekt]](/images/smileys/respekt.gif "[respekt]") !
Zur zweiten Ungleichung:
Klar, deine Rehcnung ist richtig, meine sollte es aber, soweit ich es überblicken kann, auch sein. Du entwickelst die Summe in zwei Summanden, ich in drei, da ich sie für [mm] $i\cdot [/mm] n, [mm] -i^2$ [/mm] und $i$ im Summanden auswerte und somit drei mal auf die Summwenformeln zurückgreifen muss. Es kommt aber das gleiche heraus wie bei dir.
Liebe Grüße,
Hanno
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:07 Do 24.02.2005 | | Autor: | moudi |
Hallo Hanno
Ja, dein Argument verstehe ich jetzt ist. Allerdings hat mich der Satz, ich zitiere
"... wodurch die stärkere Ungleichung
[mm] $\frac{n(n+1)}{2}-\frac{(n+1)(2n+1}{6}+\frac{(n+1)}{2}<\frac{(n+1)(n+2)}{6}$ [/mm]
erzeugt wird."
irritiert. Denn Tatsächlich ist [mm] $\frac{n(n+1)}{2}-\frac{(n+1)(2n+1}{6}+\frac{(n+1)}{2}$ [/mm] = [mm] $\frac{(n+1)(n+2)}{6}$.
[/mm]
Aber trotzdem vor deiner Leistung.
mfG Moudi
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Hallo!
Zur ersten Ungleichung:
Beweise zunächst, dass [mm] (n+1)^n \le n^{n+1} [/mm], für [mm] n \ge 3 .[/mm]
wegen [mm] 1+n^2 \le n^n [/mm] für [mm] n \ge 3 [/mm] und [mm] {n \choose k} n^k \le n^n [/mm]:
[mm] (n+1)^n = \sum_{k=0}^{n} {n \choose k} n^k = 1 + n^2 + \sum_{k=2}^{n} {n \choose k}n^k \le n^n + (n-1)n^n = n*n^n = n^{n+1} [/mm]
Für n=1 und n=2 ergibt sich die Richtigkeit durch Einsetzen.
Induktionsschritt (n>2):
[mm] (n+1)^{n+1} = (n+1)(n+1)^n \le (n+1)n^{n+1} \le (n+1)^2 n^n \le (n+1)^2 (n!)^2 = ((n+1)!)^2 [/mm]
zweite Ungleichung:
Die Folge [mm] a_n := \left( \frac{n+3}{n+1} \right) ^{n+1} [/mm] ist monoton wachsend und [mm] a_n \ge 6 [/mm] für [mm] n \ge 8 [/mm].
Damit wird (Die Richtigkeit für n<8 ergibt sich durch Einsetzen) für n>7 (Induktionsschritt):
[mm] \begin{matrix} \left( (n+2)(n+3) \right) ^{n+1} &=& \left( \frac{n+3}{n+1} \right) ^{n+1} (n+2)^{n+1}(n+1)^{n+1} \ge 6 (n+1)^2 (n+2)^n (n+1)^n \\
\ & \ge & 6 \cdot 6^n (n+1)^2 (n!)^2 = 6^{n+1} ((n+1)!)^2 \end{matrix} [/mm]
Ich hoffe, mich nicht vertippt zu haben.
mfg
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![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]"){kind=small}
