Aufgabe #116 (Ana),(SweMo) < Wettbewerbe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Übungsaufgabe) Übungsaufgabe  | | Datum: | 11:46 Do 29.12.2005 | | Autor: | Hanno |
| Aufgabe | | Es sei $f$ definiert auf den nicht-negativen reellen Zahlen und dort stetig differenzierbar. Es sei $f(0)=1, f'(0)=0$ und $(1+f(x))f''(x)=1+x$. Zeige, dass $f$ monoton steigend ist und dass [mm] $f(1)\leq\frac{4}{3}$. [/mm] |
Viel Spaß!
Liebe Grüße,
Hanno
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| Aufgabe | | Es sei $ f $ definiert auf den nicht-negativen reellen Zahlen und dort stetig differenzierbar. Es sei $ f(0)=1, f'(0)=0 $ und $ (1+f(x))f''(x)=1+x $. Zeige, dass $ f $ monoton steigend ist und dass $ [mm] f(1)\leq\frac{4}{3} [/mm] $. |
Hallo Hanno.
Gäbe es ein $x [mm] \in \mathbb{R}_0^{+}$ [/mm] mit $f(x) [mm] \leq [/mm] -1$, so gäbe es aufgrund der Stetigkeit von $f$ auch ein $x' [mm] \in \mathbb{R}_0^{+}$ [/mm] mit $f(x')=-1$ (da $f(0)=1$ ist und somit alle Werte zwischen 1 und $f(x)$ als Funktionswerte auftreten). Dies führt wegen $0=(1-1)f''(x')=(1+f(x'))f''(x')=1+x'$ zum Widerspruch. Also gilt $f(x)>-1$ für alle $x [mm] \in \mathbb{R}_0^{+}$.
[/mm]
Es folgt [mm] $f''(x)=\frac{1+x}{1+f(x)}>0$ [/mm] und somit auch [mm] $f'(x)=f'(0)+\int \limits_{0}^{x}{f''(x')dx'}\geq [/mm] 0$, d.h. $f$ ist monoton steigend.
Also kann man $f(x)$ durch 1 nach unten abschätzen und erhält
[mm] $f''(x)\leq \frac{1+x}{2}=\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}$. [/mm] Es folgt
[mm] $f'(x)=f'(0)+\int \limits_{0}^{x}{f''(x')dx'} \leq 0+\frac{1}{4}x^2+\frac{1}{2}x$\\
[/mm]
[mm] $f(x)=f(0)+\int \limits_{0}^{x}{f'(x')dx'}\leq 1+\frac{1}{12}x^3+\frac{1}{4}x^2$.
[/mm]
Insbesondere folgt $f(1) [mm] \leq 1+\frac{1}{12}+\frac{1}{4}=\frac{4}{3}$.
[/mm]
MfG
Jan
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