Aufgabe #114 (FGL),(SweMo) < Wettbewerbe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Übungsaufgabe) Übungsaufgabe  | | Datum: | 11:03 Do 29.12.2005 | | Autor: | Hanno |
| Aufgabe | | Man bestimme alle stetigen Funktionen [mm] $f:\IR\to\IR$ [/mm] mit [mm] $f(x)+f(x^2)=2$ [/mm] für alle [mm] $x\in\IR$. [/mm] |
Viel Spaß!
Liebe Grüße,
Hanno
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Hallo Hanno,
Setzt man x=0 und x=1 in $f(x) + f [mm] (x^2) [/mm] =2$ ein, so erhält man:
$2*f(0)=2 [mm] \gdw [/mm] f(0)=1$ und $2*f(1)=2 [mm] \gdw [/mm] f(1)=1$
Aus der FGL folgt, dass [mm] $f(x^2)+f(x^4)=2$. [/mm] Subtraktion liefert nun:
[mm] $f(x^4)+f(x^2)-f(x)-f(x^2)=2-2 \gdw f(x)=f(x^4)$ [/mm] (*)
Es sei nun [mm] $x_0 \in [/mm] (0;1)$ und die Folge [mm] (x_n) [/mm] definiert durch [mm] $x_n=x_0^4$ [/mm]
wegen (*) ist [mm] $f(x_n)=f(x_0)$.
[/mm]
Da [mm] x_n [/mm] gegen 0 konvergiert, muss die Bildfolge [mm] f(x_n) [/mm] gegen f(0)=1 konvergieren, da f stetig sein soll:
[mm] $1=f(0)=\limes_{n\rightarrow\infty}f(x_n)=f(x_0)$.
[/mm]
Es ist also f(x)=1 für [mm] $x\in[0;1]$
[/mm]
Aus (*) folgt [mm] f(x)=f(x^\frac{1}{4}) [/mm] für x>0. (**)
Es sei [mm] $x'_0\in(1;\infty)$ [/mm] und die Folge $(x'_n)$ definiert durch
[mm] $x'_n=x'_0^\frac{1}{4n}$. [/mm] Wegen (**) $f(x'_0)=f(x'_n)$.
Die Folge $(x'_n)$ konvergiert gegen 1, aus der Stetigkeit von f folgt:
[mm] $1=f(1)=\limes_{n\rightarrow\infty}f(x'_n)=f(x'_0)$.
[/mm]
Es ist also $f(x) = 1$ für [mm] $x\ge [/mm] 0$.
Da [mm] $x^2\ge [/mm] 0$ für [mm] $x\in\IR$ [/mm] erhält man:
$f(x) + [mm] f(x^2)=2 \gdw [/mm] f(x) +1 = 2 [mm] \gdw [/mm] f(x)=1$
Die einzige stetige Funktion, die die FGL erfüllt, ist die konstante Funktion f(x)=1.
Gruß Samuel
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