Aufgabe #107 (RussMO),(ZT) < MO andere Länder < Wettbewerbe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Übungsaufgabe) Übungsaufgabe  | | Datum: | 19:04 Sa 01.10.2005 | | Autor: | Hanno |
Hallo an alle!
Man beweise, dass in der arithmetischen Folge 1,730,1459,... unendlich viele Zehnerpotenzen enthalten sind.
Liebe Grüße,
Hanno
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:38 Sa 01.10.2005 | | Autor: | ZetaX |
Hallo Hanno,
es lässt sich sogar verallgemeinern:
Sind $a,m,p$ Zahlen ( $a,m$ teilerfremd, $p>1$), so dass es ein ganzzahliges $n$ gibt mit [mm] $p^n \equiv [/mm] a [mm] \mod [/mm] m$. Dann enthält die Folge $a,a+m,a+2m,a+3m,...$ unendlich viele Potenzen von $p$.
Sei $n$ so gewählt, dass [mm] $p^n \equiv [/mm] a [mm] \mod [/mm] m$ ist und [mm] $p^n \geq [/mm] a$ ist (ein solches $n$ gibt es trivialerweise nach dem Satz von Euler-Fermat).
Dann ist [mm] $p^n [/mm] = a+km$ mit $k [mm] \geq [/mm] 0$, und also eine Potenz von $p$ in der Folge enthalten. Wählt man nun $a=a+(l+1)m$ als neuen Startwert findet sich eine weitere Potenz und so fort. Dies ergibt aber schon die gewünschte Aussage.
Die Aufgabe erfüllt natürlich die Bedingungen mit $a=1,m=729,p=10,n=0$.
grüße,
Daniel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 04:08 Mo 03.10.2005 | | Autor: | Stefan |
Hallo Daniel!
Einmal muss es $k$ statt $l$ heißen, egal, wie auch immer, wieder eine (jedenfalls aus meiner eingeschränkten Sicht  ) herausragende Lösung!
Noch einmal am Beispiel für mich und andere erläutert:
Der Beweis beruht also (hier konkret im Beispiel) darauf, dass die Gleichung
[mm] $10^n \equiv [/mm] 1 [mm] \pmod{729}$
[/mm]
nach dem Satz von Euler-Fermat unendlich viele Lösungen hat. Man beachte, dass hier auch $ggT(10,729)=1$ gilt, so dass der Satz von Euler-Fermat anwendbar ist.
Die Verallgemeinerung folgt dann aus ähnlichen Überlegungen heraus.
Liebe Grüße
Stefan
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