Aufgabe #102 (IMOsl),(GEO) < Wettbewerbe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Übungsaufgabe) Aktuelle Übungsaufgabe  (unbefristet) | | Datum: | 18:01 Sa 01.10.2005 | | Autor: | Hanno |
Hallo an alle!
Es sei ABC ein spitzwinkliges Dreieck. M sei der Mittelpunkt von BC und P der Punkt auf AM mit MB=MP. Ferner sei H der Fußpunkt des Lotes von P auf BC. Die Geraden durch H, die auf PB bzw. PC senkrecht stehen, schneiden AB bzw. AC in Q bzw. R. Zeige, dass BC Tangente in H an den Umkreis von Q,R und H ist.
[Dateianhang nicht öffentlich]
Liebe Grüße,
Hanno
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:35 Sa 22.10.2005 | | Autor: | moudi |
Hallo Zusammen
Ich melde mich seit langer Zeit auch mal wieder und gebe eine Lösung der Aufgabe, die mich eine Weile beschäftigt hat.
Ich bezeichne noch die Schnittpunkte [mm] $Q'=HQ\cap [/mm] BP$ und [mm] $R'=HR\cap [/mm] CP$.
Es ist klar, dass die Strecke BC Tangente an den Kreis durch die Punkte $H,R',P,Q'$ ist, denn $HR'PQ'$ ist ein Rechteck und die Diagonale PQ (auf der der Mittelpunkt dieses Kreises ist) ist senkrecht zu BC.
Wenn ich zeigen kann, dass das Verhältnis $HQ:HQ'=HR:HR'=k$ ist, dann ist der Kreis durch die Punkte H, R, Q das Bild des Kreises durch die Punkte $H,R',P,Q'$ unter einer Streckung mit Streckungszentrum H und Streckungsfaktor k und BC bleibt Tangente an den gestreckten Kreis.
Zu diesem Zweck füre ich die Vektoren [mm] $\vec a=\vec{MB}$ [/mm] und [mm] $\vec b=\vec{MP}$ [/mm] ein. Es gibt dann eine Zahl [mm] $\lambda$ [/mm] mit [mm] $\vec{MA}=\lambda\vec [/mm] b$ und Zahlen x,y,z mit
[mm] $\vec{MH}=x\vec [/mm] a$
[mm] $\vec{HQ}=y(\vec a+\vec [/mm] b)$ (weil HQ parallel ist zu [mm] $\vec a+\vec [/mm] b$) und
[mm] $\vec{QA}=z(\lambda\vec b-\vec [/mm] a)$ (weil [mm] $\vec{BA}=\lambda\vec b-\vec [/mm] a$).
Setzen wir alles ein in die Identität [mm] $\vec{MH}+\vec{HQ}+\vec{QA}+\vec{AM}=\vec [/mm] 0$, so ergibt sich
[mm] $x\vec a+y(\vec a+\vec b)+z(\lambda\vec b-\vec a)-\lambda\vec b=\vec [/mm] 0$ und nach Ordnung
[mm] $(x+y-z)\vec a+(y+\lambda z-\lambda)\vec b=\vec [/mm] 0$.
Weil [mm] $\vec [/mm] a$ und [mm] $\vec [/mm] b$ linear unabhängig sind, muss daher $x+y-z=0$ und [mm] $y+\lambda z-\lambda=0$ [/mm] gelten. Daraus folgt $z=x+y$ und eingesetzt [mm] $y+\lambda(x+y)-\lambda=0$ [/mm] und nach y aufgelöst ergibt sich
[mm] $y=\frac{\lambda(1-x)}{1+\lambda}$.
[/mm]
Es sei jetzt [mm] $\vec{HQ'}=y'(\vec a+\vec [/mm] b)$, dann kann ich im oberen Resultat für y einfach [mm] $\lambda=1$ [/mm] setzen, denn dies entspricht genau der Situation für Q, wenn der Punkt A auf den Punkt P fällt. Daher ist
[mm] $y'=\frac{1-x}{2}$.
[/mm]
Jetzt ist [mm] $HQ:HQ'=y:y'=\frac{2\lambda}{1+\lambda}$. [/mm] Dieses Resultat ist nur abhängig vom Verhältnis [mm] $MA:MP=\lambda$. [/mm] Deshalb gilt die genau gleiche Rechnung für das Verhältnis [mm] $HR':HR=\frac{2\lambda}{1+\lambda}$.
[/mm]
Somit ist die Aufgabe vollständig bewiesen.
mfG Moudi
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