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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:00 Mo 03.01.2011 | | Autor: | Mandy_90 |
| Aufgabe | Beweisen Sie auf mindestens zwei verschiedene Weisen:
Für n [mm] \in \IN, [/mm] n [mm] \ge [/mm] 1 gilt:
[mm] 1+\bruch{1}{\wurzel{2}}+\bruch{1}{\wurzel{3}}+...+\bruch{1}{\wurzel{n}} [/mm] > [mm] 2*(\wurzel{n+1}-1) [/mm] |
Hallo,
ich habe versucht das auf zwei versch. Weisen zu beweisen, einmal mit Induktion und einmal direkt,aber bei beiden Ansätzen bin ich an einer Stelle nicht mehr weitergekommen.
1.Direkt:
Ich hab die Linke Seite mit der Summenformel geschrieben:
[mm] \summe_{i=1}^{n}\bruch{1}{\wurzel{i}} [/mm] > [mm] 2*(\wurzel{n+1}-1)
[/mm]
[mm] \summe_{i=1}^{n}\bruch{1}{\wurzel{i}}+2 [/mm] > [mm] 2*\wurzel{n+1}
[/mm]
Hier komme ich leider nicht mehr weiter.
Hat jemand einen Tipp für mich?
2.Induktion:
IA: n=1 gelingt, da 1.5 > [mm] \wurzel{2}
[/mm]
IV: Angenommen die Behauptung gilt für i=1...n
IS:
[mm] \summe_{i=1}^{n+1}\bruch{1}{\wurzel{i}} [/mm] > [mm] 2*\wurzel{n+2}-2
[/mm]
[mm] \summe_{i=1}^{n}\bruch{1}{\wurzel{i}}+\bruch{1}{\wurzel{n+1}} [/mm] > [mm] 2*\wurzel{n+2}-2.
[/mm]
Nach der IV ist
[mm] \summe_{i=1}^{n}\bruch{1}{\wurzel{i}} [/mm] > [mm] 2*\wurzel{n+2}-2.
[/mm]
Jetzt würde ich gern die IV irgendwie nutzen,aber auf der rechten Seite steht unter der Wurzel n+2. Wie kann ich denn das geschickt Umformen?
Vielen Dank
lg
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 03:36 Di 04.01.2011 | | Autor: | lexjou |
Hallo Mandy,
warum holst Du die -2 nicht wieder auf die linke Seite und quadrierst beide Seiten? Somit fallen die Wurzeln weg und das Rechnen wird einfacher!
Ich bin mir allerdings auch nicht ganz sicher, ob das so einfach ist mit der Summenformel, deshalb beantworte ich die Frage auch nicht direkt ;)
Aber es ist eine Idee!
Und die -2 deshalb vorher nach links holen, weil Du ja sonst eine Binomische Formel hast und da hast Du ja wieder die Wurzel!
Gruß
lexjou
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:31 Di 04.01.2011 | | Autor: | Marcel |
Hallo Mandy,
jetzt mal unabhängig von Deinen Ideen (ich sehe auch gerade noch nicht, wie man die Aufgabe per Induktion zeigt - evtl. muss man da ein wenig tricksen und nach und nach die Abschätzungen beweisen, die man braucht):
Wenn ich mir
[mm] $$\sum_{k=1}^n 1/\sqrt{k}$$
[/mm]
anschaue, so kann ich mir das geometrisch so veranschaulischen:
Ich betrachte die Funktion $f: x [mm] \mapsto f(x):=1/\sqrt{x}\,.$ [/mm] Zwischen [mm] $x=0\,$ [/mm] und [mm] $x=1\,$ [/mm] trage ich ein Rechteck der Höhe [mm] $f(1)=1/\sqrt{1}$ [/mm] ab, zwischen [mm] $x=1\,$ [/mm] und [mm] $x=2\,$ [/mm] ein Rechteck der Höhe [mm] $f(2)=1/\sqrt{2}$ [/mm] usw., fortfahrend, bis ich das letzte Rechteck der Höhe [mm] $f(n)=1/\sqrt{n}$ [/mm] zwischen [mm] $x=n-1\,$ [/mm] und [mm] $x=n\,$ [/mm] abgetragen habe.
Alle diese Rechtecke liegen unterhalb des Graphen von [mm] $f\,$(mit $D_f:=\{x: x > 0\}\,$), [/mm] und der Flächeninhalt aller dieser Rechtecke aufsummiert ist gerade [mm] $\sum_{k=1}^n 1/\sqrt{k}\,.$
[/mm]
Jetzt wollen wir ja aber nicht für diese Summe eine Abschätzung nach oben, sondern eine nach unten haben. Dazu "verschieben" wir den Graphen von [mm] $f\,$ [/mm] um [mm] $x=1\,$ [/mm] nach links, d.h. wir betrachten nicht mehr [mm] $f\,,$ [/mm] sondern $g: x [mm] \mapsto g(x):=f(x+1)=\frac{1}{\sqrt{x+1}}\,.$ [/mm] Weil [mm] $f\,$ [/mm] streng monoton fällt, tut dies auch [mm] $g\,$ [/mm] und daher erkennen wir auf [mm] $[0,n]\,,$ [/mm] dass
[mm] $$\int_0^n [/mm] g(x)dx < [mm] \sum_{k=1}^n [/mm] f(k)$$
gilt, was gleichbedeutend ist mit
[mm] $$\int_0^n [/mm] f(x+1)dx < [mm] \sum_{k=1}^n [/mm] f(k)$$
[mm] $$\gdw \int_1^{n+1} [/mm] f(x)dx < [mm] \sum_{k=1}^n [/mm] f(k) $$
[mm] $$\gdw \int_1^{n+1} x^{-1/2}dx [/mm] < [mm] \sum_{k=1}^n 1/\sqrt{k}\,.$$
[/mm]
Jetzt werte mal [mm] $\int_1^{n+1} \frac{1}{\sqrt{x}}dx=\int_1^{n+1}x^{-1/2}dx$ [/mm] aus.
P.S.:
Wie ich auf die Idee gekommen bin? Eigentlich durch eine gewisse Struktur:
Ich habe halt gesehen, dass die Summanden bis auf einen Faktor gerade die Ableitung von $x [mm] \mapsto \sqrt{x}\,,$ [/mm] ausgewertet an gewissen Stellen, sind. Daher lag' es nahe, zu versuchen, die Abschätzung mithilfe der Integralrechnung zu beweisen - also in "schulmathematischer Sprache": Mithilfe von "Flächen unter Graphen"...
Gruß,
Marcel
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Das ist ja geschickt.... wenn man die 2 von rechts noch nach links holt, dann wird es sogar noch offensichtlicher:
Wenn $f(x) = [mm] \wurzel{x}$ [/mm] gewählt wird:
$ [mm] \sum_{k=1}^n \bruch{1}{2*\sqrt{k}} =\sum_{k=1}^n [/mm] f'(k) $
Und rechts steht ja nur $ f(n+1) - f(1)$, also im Grunde das Integral $ [mm] \integral_{1}^{n+1}{f'(x) dx}$
[/mm]
Das hätte ich vermutlich nie gesehen.... gefällt mir aussprechend gut  .
lg weightgainer
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Hi,
bei der Induktion muss man nur elementar rechnen (ich lasse die rechte Seite so wie sie ist, multipliziere nur die Klammer aus). Ich starte direkt beim Ausnutzen der Induktionsvoraussetzung:
$ [mm] \summe_{i=1}^{n+1}\bruch{1}{\wurzel{i}} [/mm] > [mm] 2\cdot{}\wurzel{n+1} [/mm] -2 + [mm] \bruch{1}{\wurzel{n+1}} [/mm] $ | -2 stehen lassen, Rest auf einen Nenner bringen
$ = [mm] \bruch{2n+3}{\wurzel{n+1}} [/mm] - 2 $ | die 2 ausklammern und alles unter eine Wurzel schreiben (damit wir uns der Gestalt nähern, die wir am Ende haben wollen)
$ = [mm] 2*\wurzel{\bruch{(n+1,5)^{2}}{n+1}} [/mm] - 2 $ | Klammer ausmultiplizieren und statt 2,25 hinten die 2 schreiben (das dürfen wir ja abschätzen)
$ > [mm] 2*\wurzel{\bruch{n^{2}+3n + 2}{n+1}} [/mm] - 2 $ | Ausklammern oben
$ = [mm] 2*\wurzel{\bruch{(n+1)*(n+2)}{n+1}} [/mm] - 2 $ | Kürzen von n+1
Fertig.
Strategie: Ich habe die (n+1) Behauptung vor Augen und muss jetzt irgendwie auf diese rechte Seite kommen. Du erkennst glaube ich ganz gut, dass ich das hier schrittweise so realisiere: Erst sorge ich für die "-2" hinten (dann hab ich das schon mal), dann für den Faktor 2 vor einer Wurzel und dann kümmere ich mich um das, was in der Wurzel drin steht.
lg weightgainer
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:18 Di 04.01.2011 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Hi,
> bei der Induktion muss man nur elementar rechnen (ich
> lasse die rechte Seite so wie sie ist, multipliziere nur
> die Klammer aus). Ich starte direkt beim Ausnutzen der
> Induktionsvoraussetzung:
>
> [mm]\summe_{i=1}^{n+1}\bruch{1}{\wurzel{i}} > 2\cdot{}\wurzel{n+1} -2 + \bruch{1}{\wurzel{n+1}}[/mm]
> | -2 stehen lassen, Rest auf einen Nenner bringen
>
> [mm]= \bruch{2n+3}{\wurzel{n+1}} - 2[/mm] | die 2 ausklammern und
> alles unter eine Wurzel schreiben (damit wir uns der
> Gestalt nähern, die wir am Ende haben wollen)
>
> [mm]= 2*\wurzel{\bruch{(n+1,5)^{2}}{n+1}} - 2[/mm] | Klammer
> ausmultiplizieren und statt 2,25 hinten die 2 schreiben
> (das dürfen wir ja abschätzen)
>
> [mm]> 2*\wurzel{\bruch{n^{2}+3n + 2}{n+1}} - 2[/mm] | Ausklammern
> oben
>
> [mm]= 2*\wurzel{\bruch{(n+1)*(n+2)}{n+1}} - 2[/mm] | Kürzen von
> n+1
>
> Fertig.
>
> Strategie: Ich habe die (n+1) Behauptung vor Augen und muss
> jetzt irgendwie auf diese rechte Seite kommen. Du erkennst
> glaube ich ganz gut, dass ich das hier schrittweise so
> realisiere: Erst sorge ich für die "-2" hinten (dann hab
> ich das schon mal), dann für den Faktor 2 vor einer Wurzel
> und dann kümmere ich mich um das, was in der Wurzel drin
> steht.
das ist schön abgeschätzt.
Wenn Mandy durch Dich nicht diese elegante(re) Lösung erhalten hätte, hätte ich Ihr zur "Holzhammer-Abschätz-Methode" geraten:
Nach I.V. gilt:
[mm] $$\sum_{k=1}^n \frac{1}{\sqrt{k}} [/mm] > [mm] 2(\sqrt{n+1}-1)\,.$$
[/mm]
Zu zeigen ist nun, dass damit folgt:
[mm] $$\sum_{k=1}^{n+1} \frac{1}{\sqrt{k}} [/mm] > [mm] 2(\sqrt{n+2}-1)\,.$$
[/mm]
Wir wissen wegen I.V.:
[mm] $$$$\sum_{k=1}^{n+1} \frac{1}{\sqrt{k}} [/mm] > [mm] 2(\sqrt{n+1}-1)+\frac{1}{\sqrt{n+1}}\,.$$
[/mm]
Jetzt kommt der "Holzhammer-Versuch":
Die Behauptung folgt, wenn wir
$$ [mm] 2(\sqrt{n+1}-1)+\frac{1}{\sqrt{n+1}} \ge 2(\sqrt{n+2}-1)$$
[/mm]
nachweisen können. Und um letzteres einzusehen (wenn man es nicht so elegant macht wie Du), formen wir diese Ungleichung solange äquivalent um (wichtig sind nachher die Pfeile in Richtung [mm] "$\Leftarrow$"), [/mm] bis wir zu einer offensichtlich wahren Aussage gelangen. Das ganze wird weniger schön wie bei Dir und ist daher mehr oder weniger eine Art "Holzhammer", weil man quasi ohne wirklich groß nachzudenken einfach "drauflos klopft" und hofft, irgendwann zu einem passenden Ergebnis zu gelangen. (Dies sollte möglich sein, da Deine Abschätzungen oben es ja quasi zeigen.) Das wäre jetzt also mein Vorschlag gewesen, um den Induktionsbeweis (natürlich sehr unelegant) zu Ende zu bringen.
Schön, dass Du da an einer Stelle einen einfachen, aber wesentlichen Trick gesehen hast, um die Abschätzung eleganter nachzuweisen.
(Edit:
Bevor man nun meine oben vorgeschlagene Abschätzung "blind" weiterrechnet:
[mm] $$2(\sqrt{n+1}-1)+\frac{1}{\sqrt{n+1}} \ge 2(\sqrt{n+2}-1)$$
[/mm]
[mm] $$\gdw 2n+3-2\sqrt{n+1} \ge 2(\sqrt{n+2}-1)\sqrt{n+1}$$
[/mm]
[mm] $$\gdw 2n+3-2\sqrt{n+1} \ge 2\sqrt{n+2}\sqrt{n+1}-2\sqrt{n+1}$$
[/mm]
[mm] $$\gdw [/mm] 2n+3 [mm] \ge 2\sqrt{(n+2)(n+1)}\,..$$
[/mm]
Wie's weitergeht ist nun sicher klar (entweder wie bei Dir, oder einfach quadrieren unter Erhalt des [mm] $\le$ [/mm] und Beachtung, das dies hier eine Äquivalenzumformung ist!)
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:59 Di 04.01.2011 | | Autor: | Mandy_90 |
> Hi,
> bei der Induktion muss man nur elementar rechnen (ich
> lasse die rechte Seite so wie sie ist, multipliziere nur
> die Klammer aus). Ich starte direkt beim Ausnutzen der
> Induktionsvoraussetzung:
>
> [mm]\summe_{i=1}^{n+1}\bruch{1}{\wurzel{i}} > 2\cdot{}\wurzel{n+1} -2 + \bruch{1}{\wurzel{n+1}}[/mm]
> | -2 stehen lassen, Rest auf einen Nenner bringen
Ich versteh leider nicht, wie du auf diesen Ausdruck kommst, bzw. wie du die IV genutzt hast.Ich hab zunächst den Induktionsschritt:
[mm] \summe_{i=1}^{n+1}\bruch{1}{\wurzel{i}} [/mm] > [mm] 2\cdot{}\wurzel{n+2}-2.
[/mm]
Wie bist du dann auf der rechten Seite auf [mm] 2\cdot{}\wurzel{n+1} [/mm] -2 + [mm] \bruch{1}{\wurzel{n+1}} [/mm] gekommen?
lg
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 22:38 Di 04.01.2011 | | Autor: | ullim |
Hi,
> > Hi,
> > bei der Induktion muss man nur elementar rechnen (ich
> > lasse die rechte Seite so wie sie ist, multipliziere nur
> > die Klammer aus). Ich starte direkt beim Ausnutzen der
> > Induktionsvoraussetzung:
> >
> > [mm]\summe_{i=1}^{n+1}\bruch{1}{\wurzel{i}} > 2\cdot{}\wurzel{n+1} -2 + \bruch{1}{\wurzel{n+1}}[/mm]
> > | -2 stehen lassen, Rest auf einen Nenner bringen
>
> Ich versteh leider nicht, wie du auf diesen Ausdruck
> kommst, bzw. wie du die IV genutzt hast. Ich hab zunächst
> den Induktionsschritt:
> [mm] \summe_{i=1}^{n+1}\bruch{1}{\wurzel{i}}>2\cdot{}\wurzel{n+2}-2
[/mm]
> Wie bist du dann auf der rechten Seite auf
> [mm]2\cdot{}\wurzel{n+1}[/mm] -2 + [mm]\bruch{1}{\wurzel{n+1}}[/mm]
> gekommen?
Du hast aufgeschrieben was zu beweisen ist.
Auf den Ausdruck auf der rechten Seite kommt man wie folgt:
[mm] \summe_{i=1}^{n+1}\bruch{1}{\wurzel{i}}=\summe_{i=1}^{n}\bruch{1}{\wurzel{i}}+\br{1}{\wurzel{n+1}}>2\cdot{}\wurzel{n+1} [/mm] -2 + [mm] \bruch{1}{\wurzel{n+1}}
[/mm]
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:51 Di 04.01.2011 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Hi,
>
> > > Hi,
> > > bei der Induktion muss man nur elementar rechnen
> (ich
> > > lasse die rechte Seite so wie sie ist, multipliziere nur
> > > die Klammer aus). Ich starte direkt beim Ausnutzen der
> > > Induktionsvoraussetzung:
> > >
> > > [mm]\summe_{i=1}^{n+1}\bruch{1}{\wurzel{i}} > 2\cdot{}\wurzel{n+1} -2 + \bruch{1}{\wurzel{n+1}}[/mm]
> > > | -2 stehen lassen, Rest auf einen Nenner bringen
> >
> > Ich versteh leider nicht, wie du auf diesen Ausdruck
> > kommst, bzw. wie du die IV genutzt hast. Ich hab zunächst
> > den Induktionsschritt:
> >
> [mm]\summe_{i=1}^{n+1}\bruch{1}{\wurzel{i}}>2\cdot{}\wurzel{n+2}-2[/mm]
> > Wie bist du dann auf der rechten Seite auf
> > [mm]2\cdot{}\wurzel{n+1}[/mm] -2 + [mm]\bruch{1}{\wurzel{n+1}}[/mm]
> > gekommen?
>
> Du hast aufgeschrieben was zu beweisen ist.
>
> Auf den Ausdruck auf der rechten Seite kommt man wie
> folgt:
>
> [mm]\summe_{i=1}^{n+1}\bruch{1}{\wurzel{i}}=\red{\summe_{i=1}^{n}\bruch{1}{\wurzel{i}}}+\br{1}{\wurzel{n+1}}\red{>2\cdot{}\wurzel{n+1}-2} + \bruch{1}{\wurzel{n+1}}[/mm]
damit es wirklich narrensicher ist: Die nun von mir rot markierte Ungleichung gilt nach Induktionsvoraussetzung unter Beachtung von
$$2 [mm] \sqrt{n+1}-2=2(\sqrt{n+1}-1)\,.$$
[/mm]
Damit folgt die obige Ungleichung, weil bekanntlich
$$a > b [mm] \Rightarrow [/mm] a+c > b+c$$
für alle [mm] $c\,$ [/mm] gilt.
Gruß,
Marcel
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