Asymtotische Gleichheit von Fu < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:59 Sa 30.01.2010 | | Autor: | isi1 |
| Aufgabe | In der Elektrotechnik bekommen wir für eine kreisförmige Platte (Radius R) entlang ihrer Achse eine Funktion für das Potential $ [mm] \varphi/\varphi_0=\sqrt(z'^2+1)-1 [/mm] $
Das Potential für eine punktförmige Ladung muss bei Abständen >> R (fast) damit übereinstimmen. $ [mm] \varphi/\varphi_0=1/(2z') [/mm] $
Zeigen Sie mathematisch, dass die beiden Funktionen bei z'>>1 asymptotisch gleich sind.
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Könnte mir bitte jemand helfen?
Die beiliegende Grafik habe ich selbst erstellt.
[Dateianhang nicht öffentlich]
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:40 Sa 30.01.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
irgendwas hast du da falsch abgeschrieben.
[mm] \wurzel{x^2+1}-1 [/mm] ist ne wachsende fkt, die sicher nicht für grosse x gegen 1/2x konvergiert. es ist auch nicht die fkt die man auf der Graphik sieht
am ehesten gehts noch mit
[mm] \wurzel{1/x^2+1}-1 [/mm] dann nimm einfach ddas Taylorpolynom um 0 (bis zum 1. Glied, also 1. Ableitung.) für [mm] \wurzel{u+1} [/mm] mit [mm] u=1/x^2
[/mm]
Gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:04 Sa 30.01.2010 | | Autor: | isi1 |
Danke leduart, jetzt ist alles klar.
Entschuldigt bitte, es war ein schlichter Schreibfehler von mir:
φ/φ0=√(z'^2+1) -z' soll es heißen, nicht φ/φ0=√(z'^2+1) - 1
Dann klappts auch mit der Annäherung.
$ [mm] \frac{\varphi}{\varphi_0}=\sqrt{z'^2+1} [/mm] -z' $
$ [mm] \frac{\varphi}{\varphi_0}=z' *\left( \sqrt{1+\frac{1}{z'^2}} -1\right) [/mm] $
$ [mm] \sqrt{1+\frac{1}{x^2}} [/mm] = 1 + [mm] \frac{1}{2x^2} [/mm] - [mm] \frac{1}{8x^4} [/mm] + ... $
[Dateianhang nicht öffentlich]
Dateianhänge:
Anhang Nr. 2 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
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