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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:24 So 21.01.2018 | | Autor: | mikexx |
| Aufgabe | Moin, angenommen, ich weiß, dass für [mm] $n\in\mathbb{N}$
[/mm]
[mm] $x_n\in (1,1+\frac{\log n}{n})$, [/mm] gilt dann, dass [mm] $x_n\sim 1+\frac{\log n}{n}$ [/mm] für [mm] $n\to\infty$? [/mm] |
Meine Antwort ist: "ja!".
Denn ich denke, dass aus
[mm] $x_n\in (1,1+\frac{\log n}{n})$ [/mm] und der Tatsache, dass [mm] $\lim_{n\to\infty}\frac{\log n}{n}=0$ [/mm] bzw. [mm] $\lim_{n\to\infty}1+\frac{\log n}{n}=1$ [/mm] sofort folgt, dass
[mm] $\lim x_n\to [/mm] 1$.
Somit gilt auch
[mm] $\lim_{n\to\infty}\frac{x_n}{1+\frac{\log n}{n}}=1$
[/mm]
und das bedeutet ja gerade [mm] $x_n\sim 1+\frac{\log n}{n}$.
[/mm]
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Hiho,
alles richtig.
Gruß,
Gono
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:57 So 21.01.2018 | | Autor: | sven1 |
Woher weißt du dass
[mm] $\limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{\log n}{n} [/mm] = 0$ ist?
Das stimmt zwar, aber bewiesen hast du es nicht (L'Hospital bspw.). Anschließend folgt durch die Limes Rechenregeln deine Behauptung.
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