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Hallo zusammen,
jetzt hab ich es mal ein Stück ohne euch geschafft meine Aufgaben zu lösen, doch heute brauch ich mal wieder eure Hilfe.
Folgende Aufgabe macht mir Probleme:
1
Gegeben ist die Funktion f(x)= [mm] \bruch{x²+ x}{x²- 2x -3} [/mm] in ihrer größtmöglichen Definitionsmenge.
1.1
Ermitteln sie die maximale Definitionsmenge Df und untersuchen sie f auf Nullstellen
Lösungsansatz:
Df: x²-2x-3=0
x1/2= [mm] \bruch{2 \pm \wurzel{2²+12}}{2} [/mm] = [mm] \bruch{2 \pm4}{2}
[/mm]
x1=3 x2=-1
Df= [mm] \IR [/mm] ausser {-1;3}
Nullstellen:
x²+x=0
x1=0 x2=-1
x2 Keine Nullstelle da -1 [mm] \not\in \IR
[/mm]
Soweit bin ich mir eigentlich sicher. Müsste auch alles stimmen. Nur eine Frage hätte ich zu den Nullstellen. Kann ich die Mathematisch bestimmen wenn ich nur x²+x habe, also nicht die Mitternachtsformel verwenden kann?
1.2
Bestimmen sie die Art der Definitionslücken von f und untersuchen sie das Verhalten der Funktionswerte f(x) in der Umgebung der Definitionslücken
Lösungsansatz:
f(x)= [mm] \bruch{(x+1) x}{(x+1) (x-3)} [/mm]
= [mm] \bruch{x}{x-3} [/mm] für x [mm] \not=-1
[/mm]
k(x)= [mm] \bruch{-1}{-1-3} [/mm] = 0,25
P(-1/0,25) gleich behebbare Definitionslücke
Polstelle:
x=3 ist Polstelle da Nenner = 0 und Zähler [mm] \not= [/mm] 0
Also P sollte die behebbare Definitionslücke sein. Gehört die Polstelle auch da rein? Nur wie untersuche ich das Verhalten der Funtkionswerte da?
1.3
Bestimmen sie alle Asymptoten des Graphen von f und berechnen sie die Werte x, dür die der Abstand der Funktionswerte f(x) zur waagrechten Asymptote kleiner als 0,03 ist.
Lösungsansatz:
(x²+x) : (x²-2x-3)=1 [mm] \bruch{3x+3}{x²-2x-3}
[/mm]
Asymptote: y=1
Sind das alle Asymptoten? Und wie bestimme ich die Werte für x wie in der Aufgabe verlangt?
Also die Fragen stecken alle im roten Text mit innen. Falls ich noch was vergessen habe was zur Lösung der gestellten Aufgabe dazugehört, wäre es nett wenn ihr mir das sagen würde. Auch für die Fragen brauche ich nicht umbedingt die Lösung sondern mir wäre eine genaue Erklärung lieber, damit ich die anderen Aufgaben von selbst lösen kann.
Für eure Hilfe schonmal vielen Dank,
Gruß Marcel
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Hi, Schaaafsmilch,
> Gegeben ist die Funktion f(x)= [mm]\bruch{x²+ x}{x²- 2x -3}[/mm] in
> ihrer größtmöglichen Definitionsmenge.
>
> 1.1
> Ermitteln sie die maximale Definitionsmenge Df und
> untersuchen sie f auf Nullstellen
>
> Lösungsansatz:
>
> Df: x²-2x-3=0
>
> x1/2= [mm]\bruch{2 \pm \wurzel{2²+12}}{2}[/mm] = [mm]\bruch{2 \pm4}{2}[/mm]
>
> x1=3 x2=-1
>
> Df= [mm]\IR[/mm] ausser {-1;3}
Schomma richtig!
>
> Nullstellen:
>
> x²+x=0
>
> x1=0 x2=-1
> x2 Keine Nullstelle da -1 [mm]\not\in \IR[/mm]
>
> Soweit bin ich mir eigentlich sicher. Müsste auch alles
> stimmen. Nur eine Frage hätte ich zu den Nullstellen. Kann
> ich die Mathematisch bestimmen wenn ich nur x²+x habe, also
> nicht die Mitternachtsformel verwenden kann?
>
>
Naja, klar: Durch ausklammern: x(x+1) = 0
> 1.2
> Bestimmen sie die Art der Definitionslücken von f und
> untersuchen sie das Verhalten der Funktionswerte f(x) in
> der Umgebung der Definitionslücken
>
> Lösungsansatz:
>
> f(x)= [mm]\bruch{(x+1) x}{(x+1) (x-3)}[/mm]
>
> = [mm]\bruch{x}{x-3}[/mm] für x [mm]\not=-1[/mm]
Und auch für x [mm] \not= [/mm] 3 !!
>
> k(x)= [mm]\bruch{-1}{-1-3}[/mm] = 0,25
>
> P(-1/0,25) gleich behebbare Definitionslücke
>
Die "Definitionslücke" ist - wie der Name ja eindeutig sagt - eine Lücke in der Definitionsmenge; demnach ist die Definitionslücke: x = -1
und NICHT der Punkt P(-1; 0,25).
Dass ein fester Grenzwert (y=0,25) rauskommt, heißt nur, dass diese Definitionslücke stetig behebbar ist!
> Polstelle:
>
> x=3 ist Polstelle da Nenner = 0 und Zähler [mm]\not=[/mm] 0
Sollten hier laut Aufgabenstellung nicht eigentlich Grenzwertrechnungen durchgeführt werden?!
>
> Also P sollte die behebbare Definitionslücke sein. Gehört
> die Polstelle auch da rein? Nur wie untersuche ich das
ALLE Nullstellen des Nenners sind DEFINITIONSLÜCKEN, sowohl die Pole, als auch die stetig behebbaren!
> Nur wie untersuche ich das Verhalten der Funtkionswerte da?
>
>
Tja, eben mit "Limes", z.B. für x=3:
[mm] \limes_{x\rightarrow 3+}\bruch{x}{x-3} \to +\infty,
[/mm]
[mm] \limes_{x\rightarrow 3-}\bruch{x}{x-3} \to -\infty.
[/mm]
(Bemerkung: Ich weiß, dass die Annäherung gegen 3 von rechts (bei mir: 3+) bzw. links (bei mir: 3-) nach der neuen DIN-Norm anders geschrieben wird; jedoch weiß ich nicht, wie man dies in diesem Forum mit dem Formeleditor schreibt!)
> 1.3
> Bestimmen sie alle Asymptoten des Graphen von f und
> berechnen sie die Werte x, dür die der Abstand der
> Funktionswerte f(x) zur waagrechten Asymptote kleiner als
> 0,03 ist.
>
> Lösungsansatz:
>
> (x²+x) : (x²-2x-3)=1 [mm]\bruch{3x+3}{x²-2x-3}[/mm]
> Asymptote: y=1
Jo! Diese Asymptote ist waagrecht!
>
> Sind das alle Asymptoten?
Nö, denn: Pole ergeben für den Graphen SENKRECHTE Asymptoten.
Daher: Senkrechte Asymptote bei x=3.
> Und wie bestimme ich die Werte für x wie in der Aufgabe verlangt?
>
>
Durch den Ansatz: |f(x) - 1| < 0,03,
also: [mm] |\bruch{x}{x-3} [/mm] - 1| < 0,03
<=> [mm] |\bruch{3}{x-3}| [/mm] < 0,03
Nun machst Du die Fallunterscheidung x > 3 bzw. x < 3:
1. Fall: x > 3:
[mm] \bruch{3}{x-3} [/mm] < 0,03
300 < 3(x-3)
100 < x-3
x > 103.
2.Fall: x < 3 (bzw. (x-3)<0 !!)
[mm] \bruch{3}{-(x-3)} [/mm] < 0,03
(...)
x < -97
mfG!
Zwerglein
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zu 1.2
Grenzwerte haben wir bisher noch nicht berechnet daher denk ich das sie das nicht verlangt.
Mit diesen "Limes" habe ich noch nicht gearbeitet. Kannst du da kurz drauf eingehen oder gibt es andere Möglichkeiten?
zu 1.3
Ein Pol ergibt immer eine senkrechte Asymptote?
Bei der Werteberechnung setzt du ja Betragsstriche. Gibt es da was zu beachten beim Umgang mit denen? Ansonsten die Fallunterscheidung ist dann einmal x>Pol und einmal x<Pol?
Danke für deine erstklassige Hilfe bisher.
Gruß Marcel
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Hi, Schaaafsmilch,
> zu 1.2
>
> Grenzwerte haben wir bisher noch nicht berechnet daher denk
> ich das sie das nicht verlangt.
>
> Mit diesen "Limes" habe ich noch nicht gearbeitet. Kannst
> du da kurz drauf eingehen oder gibt es andere
> Möglichkeiten?
Na: Wenn ihr Grenzwertrechnung noch nicht hattet, dann geht's bei dieser Frage nur darum, zwischen stetig behebbaren Definitionslücken und Polen zu unterscheiden!
(Was mich ein bissl wundert, denn die Formulierung der Frage "Verhalten in der Umgebung der Definitionslücken" wird in Prüfungen genau dann verwendet, wenn man Grenzwerte angeben soll; aber naja!)
>
> zu 1.3
>
> Ein Pol ergibt immer eine senkrechte Asymptote?
Richtig und zwar immer und ohne Ausnahme!
> Bei der Werteberechnung setzt du ja Betragsstriche. Gibt
> es da was zu beachten beim Umgang mit denen?
Nur, dass Du bei deren Auflösung immer mit Fallunterscheidung arbeiten musst!
> Ansonsten die
> Fallunterscheidung ist dann einmal x>Pol und einmal x<Pol?
Hier richtig! Und das liegt daran, dass der Funktionsgraph sich der Asymptote ja sowohl für x [mm] \to +\infty, [/mm] als auch für x [mm] \to -\infty [/mm] annähert!
Bei schwierigeren Aufgaben aber könnte in der Fallunterscheidung auch der Zähler eine Rolle spielen (wenn er nämlich auch von x abhängt!)
mfG!
Zwerglein
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