Asymptoten finden < Klassen 8-10 < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 08:12 Di 04.09.2007 | | Autor: | dimmy |
| Aufgabe | Use a method of your choice to find all horizontal and vertical asymptotes of the function.
Finde eine Methode deiner Wahl um alle horizontalen und vertikalen Asymptoten der Funktion zu finden. |
Vorweg: Ich bin momentan als Austauschschülerin in den USA und stecke in einem PreCalculus-Kurs. Für die Schüler ist Asymptoten-Finden Wiederholung, ich habe das noch nie gemacht, müsste wohl eher ins Oberstufenforum, aber wusste nicht, welches Thema das war. Ist jedenfalls nicht leicht, dass zu verstehen, wenn es a) auf Englisch ist und b) alle anderen schon wissen, worum es geht.
Ich brauche bitte bitte jetzt einmal keine Erklärungen, wie das geht, oder doch, ja, aber dazu die Lösungen. In den USA ist das System anders: Die Hausaufgaben werden nicht besprochen, sondern nur eingesammelt und von der Lehrerin korrigiert. Und ich sitze hier jetzt... Neun Stunden Zeitverschiebung, ich werde morgen um 6:30 Uhr nochmal reingucken, das ist dann in Deutschland 15:30 Uhr. Und ich brauch bitte einfach die Antworten weil ich nicht von Anfang an ein leeres Blatt Papier bzw. ein Papier nur mit falschen Antworten abgegeben will.
55. f(x)= [mm] \bruch{x}{x-1}
[/mm]
56. q(x)= [mm] \bruch{x-1}{x}
[/mm]
57. g(x)= [mm] \bruch{x+2}{3-x}
[/mm]
58. q(x)= [mm] 1,5^{x}
[/mm]
59. f(x)= [mm] \bruch{x²+2}{x²-1}
[/mm]
60. p(x)= [mm] \bruch{4}{x²+1}
[/mm]
61. g(x)= [mm] \bruch{4x-4}{x³-8}
[/mm]
62. h(x)= [mm] \bruch{2x-4}{x²-4}
[/mm]
Danke =)!
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Antworten abgegeben will.
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> 55. f(x)= [mm]\bruch{x}{x-1}[/mm]
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> 56. q(x)= [mm]\bruch{x-1}{x}[/mm]
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> 57. g(x)= [mm]\bruch{x+2}{3-x}[/mm]
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> 58. q(x)= [mm]1,5^{x}[/mm]
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> 59. f(x)= [mm]\bruch{x²+2}{x²-1}[/mm]
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> 60. p(x)= [mm]\bruch{4}{x²+1}[/mm]
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> 61. g(x)= [mm]\bruch{4x-4}{x³-8}[/mm]
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> 62. h(x)= [mm]\bruch{2x-4}{x²-4}[/mm]
Hallo,
ganz vorweg: da Du das mit beliebiger Methode machen darfst, kann ich mir sogar vorstellen, daß Du die Funktionen plotten darfst und die Asymptoten ablesen.
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Senkrechte Asymptoten kannst Du überhaupt nur an solchen Stellen haben, an welchen die Funktion nicht definiert ist.
Daher scheidet 58. q(x)= [mm]1,5^{x}[/mm] sofort aus für eine senkrechte Asymptote.
Bei den anderen Funktionen mußt Du zunächst nach Definitionslücken suchen. Brüche sind ja nicht definiert an Stellen, an denen der Nenner =0 ist.
Ich greife exemplarisch drei Funktionen heraus:
57. g(x)= [mm]\bruch{x+2}{3-x}[/mm]
Hier ist die Funktion für x=3 nicht definiert,
60. p(x)= [mm]\bruch{4}{x²+1}[/mm]
Weil [mm] x^2 [/mm] immer nichtnegativ ist, ist der Nenner stets [mm] \ge [/mm] 1. Also ist diese Funktion an allen Stellen definiert.
62. h(x)= [mm]\bruch{2x-4}{x²-4}[/mm]
[mm] =\bruch{2x-4}{(x-2)(x+2)}
[/mm]
Nicht definiert für x=2 und für x=-2.
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Ich hatte zuvor gesagt, daß an nicht definierten Stellen senkrechte Asymptoten vorliegen können. Rechts und links von diesen Stellen "zischt die Funktion ab" ins Unendliche, positiv oder negativ.
57. g(x)= [mm]\bruch{x+2}{3-x}[/mm]
Hier ist die Funktion für x=3 nicht definiert.
Wenn Du Werte ganz dicht an 3 einsetzt, ist der Zähler nahezu 5, der Nenner hingegen fast 0, sein Kehrwert also riesig. Also geht die Funktion hier gegen [mm] \infty, [/mm] und zwar gegen [mm] -\infty [/mm] auf der rechten Seite der Asymptote und gegen [mm] +\infty [/mm] auf der linken, überleg Dir, warum das so ist.
62. h(x)= [mm]\bruch{2x-4}{x²-4}[/mm]
[mm] =\bruch{2x-4}{(x-2)(x+2)}
[/mm]
Nicht definiert für x=2 und für x=-2.
Hier gibt es eine Besonderheit, Du kannst kürzen: h(x)= [mm]\bruch{2x-4}{x²-4}[/mm] [mm] =\bruch{2x-4}{(x-2)(x+2)} =\bruch{2(x-2)}{(x-2)(x+2)} =\bruch{2}{(x+2)}
[/mm]
Mit eine ähnlichen Überlegung wie oben hast Du hier eine senkechte Asymptote bei x=-2.
(An der Stelle x=2 hat h(x) nur ein winziges Löchlein im Graphen.)
__
Nun zu den horizontalen Asymptoten.
Die Frage ist die: wenn x sich [mm] \infty [/mm] bzw. [mm] -\infty [/mm] nähert, gibt es dann einen Wert, an welchen die Funktion immer dichter heranschleicht?
Hier auch exemplarisch drei Funktionen:
> 55. f(x)= [mm]\bruch{x}{x-1}[/mm]
Wenn x immer größer wird, unterscheiden sich Zähler und Nenner fast nicht mehr, die Funktion geht gegen 1.
[mm] Rechnerisch:f(x)=\bruch{x}{x-1}=\bruch{x-1+1}{x-1}=\bruch{x-1}{x-1}+\bruch{1}{x-1}=1+\bruch{1}{x-1}
[/mm]
Für sehr große Werte geht der zweite Term gegen 0. Also ist 1 waagerechte Asymptote, sowohl rechts als auch links.
> 58. q(x)= [mm] 1,5^{x}
[/mm]
Diese Funktion wächst, wenn Du immer weiter nach rechts gehst, es gibt im Positiven also keine waagerechte Asymptote.
Nun überleg, was mit negativen x ist: [mm] 1,5^{-2}= \bruch{1}{1.5^2}, 1,5^{-20}= \bruch{1}{1.5^{20}}, 1,5^{-92}= \bruch{1}{1.5^{92}}. [/mm] Die Werte nähern sich der 0. Also ist die x-Achse, die Funktion y=0, waagerechte Asymptote.
Ich helfe Dir jetzt noch bei en paar Funktionen bei der Umformung, anhand derer Du ev. horizontale Asyptoten ablesen kannst:
57. g(x)= [mm] \bruch{x+2}{3-x} [/mm] =-( [mm] \bruch{-2-x}{3-x})= [/mm] -( [mm] \bruch{-2-3+3-x}{3-x})=-( \bruch{5}{3-x}+1) [/mm] =-1 - [mm] \bruch{5}{3-x}
[/mm]
61. g(x)= [mm][mm] \bruch{4x-4}{x³-8} [/mm] Überlege Dir hier, daß für große x der Nenner viiiiiiiiiiiiiiiiiiiiel größer ist als der Zähler.
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Beim Nacharbeiten des Stoffes kann Dir hier sicher jemand behilflich sein, vielleicht auch jemand von den neuen Mitschülern.
Es ist sicher gut, wenn der Lehrer weiß, daß Du das noch gar nicht hattest, von daher wäre ein leeres Blatt doch gar nicht so schlimm.
Vielleicht kannst Du den Lehrer darauf ansprechen, und vielleicht weiß er sogar, welcher Mitschüler Dir helfen könnte.
Gruß v. Angela
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