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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 01:53 Mo 19.04.2010 | | Autor: | ms2008de |
| Aufgabe | Gegeben sei die Funktion f mit f(x) = ln(1 + [mm] e^{-x}). [/mm] Der zugehörige Graph sei mit [mm] G_{f} [/mm] benannt.
Zeigen Sie, dass die beiden Geraden mit den Gleichungen y=0 und y= -x Asymptoten von [mm] G_{f} [/mm] sind |
Hallo,
Also meine Idee war [mm] \limes_{x\rightarrow +\infty} [/mm] f(x) und [mm] \limes_{x\rightarrow -\infty} [/mm] f(x) zu betrachten. Naja erster Fall ist wohl ziemlich schnell abgehandelt, also
[mm] \limes_{x\rightarrow +\infty} [/mm] ln(1 + [mm] e^{-x}) [/mm] = [mm] ln(\limes_{x\rightarrow +\infty} [/mm] (1 + [mm] e^{-x})) [/mm] = ln(1+0)= 0
Beim andern Fall fällts mir schwerer: [mm] \limes_{x\rightarrow -\infty} [/mm] ln(1 + [mm] e^{-x}), [/mm] ich hätt jetzt gesagt, da minus*minus = plus ergibt und man die 1 als Konstante im ln vernachlässigen kann, läuft das zu [mm] ln(e^x)=x. [/mm] Wo liegt mein Fehler?
Vielen Dank schon mal.
Viele Grüße?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 06:42 Mo 19.04.2010 | | Autor: | Kroni |
Hi,
$y=0$ passt.
Wenn man nun [mm] $x\rightarrow -\infty$ [/mm] anguckt, ist dein Argument auch passend, dass man die $1$ vernachlaessigen kann. Dann gilt aber [mm] $1+e^{-x}\approx e^{-x}$. [/mm] In der Rechnung, die du gemacht hast, ist das Vorzeichen von x schon mit eingebaut. Wenn du dann [mm] $e^x$ [/mm] schreibst, hast du dann schon den Betrag von $x$ eingebaut, bzw. meinst diesen.
Wenn du also ueber $x [mm] \rightarrow -\infty$ [/mm] redest, stimmt es, dass man die $1$ vernachlaessigen kann, die Funktion selber heisst dann aber nicht [mm] $e^x$ [/mm] sondern nach wie vor [mm] $e^{-x}$, [/mm] womit man dann auf die Asymptote $y=-x$ kommt.
LG
Kroni
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