Art & Lage der Extremwerte < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | Bestimme die Art und Lage der Extremwerte der Fkt:
z=f(x,y)=sin x sin y
im Bereich B={(x,y) [mm] \in \IR²: [/mm] |x| < 2, -2 < y < 1}. |
Hallo,
so nun habe ich probiert:
[mm] f_{x}=cos [/mm] x sin y
[mm] f_{y}=cos [/mm] y sin x
[mm] f_{x}!=0
[/mm]
sin y=-cos x
y=arcsin(-cos x) und hier x!=0 gesetzt
und komme auf
[mm] y=-k_{1}*\bruch{\pi}{2}+\pi
[/mm]
[mm] x=-k_{2}*\bruch{\pi}{2}+\pi
[/mm]
und
[mm] f_{y}!=0
[/mm]
sin c=-cos y
x=arcsin(-cos x) und hier auch x!=0 gesetzt
und dasselbe wie oben bekommen.
Stimmt das und würde ich jetzt mit dem Hessian weiter machen?
Danke Tim
|
|
| |
|
Hat denn keiner eine Idee oder habe ich es komisch formuliert?
|
|
|
| |
|
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
> Bestimme die Art und Lage der Extremwerte der Fkt:
> z=f(x,y)=sin x sin y
> im Bereich B={(x,y) [mm]\in \IR²:[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
|x| < 2, -2 < y < 1}.
> Hallo,
>
> so nun habe ich probiert:
>
> [mm]f_{x}=cos[/mm] x sin y
> [mm]f_{y}=cos[/mm] y sin x
>
> [mm]f_{x}!=0[/mm]
> sin y=-cos x
Hallo,
diesem Schritt kann ich nicht folgen.
Es muß doch jetzt gelten [mm] f_{x}=0 [/mm] und [mm] f_{y}=0,
[/mm]
also cos x sin y=0 und cos y sin x=0.
==>( x=... oder y=...) und (y=... oder x=...)
Wenn man dann seine Kandidaten für die Extrema hat, geht's in der Tat mit der Hessematrix weiter.
Gruß v. Angela
|
|
|
| |
|
ja ich habe mich vertan.
also wäre es richtig, wenn ich nun
0=cosx*siny /:cosx
siny=0
y=0
[mm] \Rightarrow y=k_{1}*\pi
[/mm]
oder
0=cosx*siny /:siny
cosx=0
[mm] x=\pi
[/mm]
[mm] \Rightarrow x=k_{2}*\pi+\bruch{\pi}{2}?
[/mm]
schreibe?
Danke
|
|
|
| |
|
> ja ich habe mich vertan.
>
> also wäre es richtig, wenn ich nun
> 0=cosx*siny /:cosx
> siny=0
> y=0
> [mm]\Rightarrow y=k_{1}*\pi[/mm]
>
> oder
>
> 0=cosx*siny /:siny
> cosx=0
> [mm]x=\pi[/mm]
> [mm]\Rightarrow x=k_{2}*\pi+\bruch{\pi}{2}?[/mm]
>
> schreibe?
Hallo,
nein, so darfst Du das nicht schreiben.
Du müßtest auf jeden Fall ausschließen, daß der Ausdruck, durch den Du teilst, =0 ist.
Aber wenn da steht "0= cosx siny",
folgt daraus wie bereits erwähnt, daß cos x=0 oder siny =0.
(Denn das Produkt zweier reelller Zahlen ist ja nur =0, wenn einer der Faktoren =0 ist.)
Das mußt Du Dann weiter verwerten, indem Du Dir überlegst, wann cos x=0 oder siny =0 gilt.
Mit diesen Informatioen kannst Du anschließend in deio zweite Gleichung Deines Systems gehen.
Gruß v. Angela
|
|
|
| |
|
ah, danke verstehe, also
[mm] f_{x}!=0
[/mm]
0=cosx*siny
cosx=0 [mm] \Rightarrow x=\pi
[/mm]
siny=0 [mm] \Rightarrow [/mm] y=0
[mm] f_{y}!=0
[/mm]
0=cosy*sinx
cosy=0 [mm] \Rightarrow y=\pi
[/mm]
sinx=0 [mm] \Rightarrow [/mm] x=0
[mm] \Rightarrow [/mm] ?
so und nun weiß ich nicht mehr genau weiter...
|
|
|
| |
|
> ah, danke verstehe,
Hallo,
ja, ich glaube Du hast verstanden, was ich Dir sagen wollte.
Es ist für meinen Geschmack noch ein bißchen kraus aufgeschrieben, ich zeige Dir das unten nochmal.
Eine andere Sache:
Du beachtest nicht die Periodizität der trigonometrischen Funktionen, ich gehe davon aus, daß sie Dir sonnenklar ist, und sich alles selbstredend erklärt.
also
>
> [mm]f_{x}!=0[/mm]
Sei
> 0=cosx*siny
<==>
> (cosx=0 [mm] oder siny=0 )
<==> [mm] (x=(2n+1)\pi [/mm] oder [mm] y=2n\pi) [/mm] für alle n [mm] \in \IZ.
[/mm]
> [mm]f_{y}!=0[/mm]
> 0=cosy*sinx
<==> (wie oben rechnen)
[mm] (y=(2m+1)\pi [/mm] oder [mm] x=2m\pi) [/mm] für alle m [mm] \in \IZ.
[/mm]
Es ist also [mm] \vektor{f_x(x,y) \\ f_y(x,y)}=\vektor{0 \\ 0}
[/mm]
[mm] <==>(x=(2n+1)\pi [/mm] oder [mm] y=2n\pi) [/mm] und [mm] (y=(2m+1)\pi [/mm] oder [mm] x=2m\pi) [/mm]
==> [mm] (x=(2n+1)\pi [/mm] und [mm] y=(2m+1)\pi) [/mm] oder [mm] (y=2n\pi [/mm] und [mm] x=2m\pi))
[/mm]
Also können (!) an den Punkten [mm] ((2n+1)\pi ,(2m+1)\pi) [/mm] oder [mm] (2m\pi,2n\pi [/mm] ) Extremwerte vorliegen. (m,n [mm] \in \IZ).
[/mm]
Gruß v. Angela
|
|
|
| |
|
Super. Danke erstmal.
Ich muss das ganze Thema erstmal wieder etwas auffrischen, merke gerade einige Lücken...
|
|
|
|
