Arithm. und geom. Mittelwert < Sonstiges < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:45 Mo 28.03.2005 | | Autor: | vtch |
Hallo Forum,
der arithmetische Mittelwert [mm] m_a [/mm] von n Werten definiert sich folgendermassen:
[mm] m_a = 1/n*\sum_{i=1}^{n} x_i [/mm]
der geometrische [mm] m_g [/mm] so:
[mm] m_g = \wurzel[n]{ *\prod_{i=1}^{n} x_i} [/mm]
Ich bin gerade am überlegen, worin der Anwendungsunterschied beider liegt. Wann nehme ich welchen? Ich kann dazu leider nichts ausführliches finden. Ich habe nur irgendwo lesen können, dass man den arithmetischen bei (gleichmässigen?) Intervallen der Messreihe nimmt, und den geometrischen bei Verhältnissen (?). Da kann ich aber nicht wirklich was mit anfangen..
Gruss
Christian
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Hallo Christian!
> Hallo Forum,
das ist ja auch mal eine schöne Anrede! 
> der arithmetische Mittelwert [mm]m_a[/mm] von n Werten definiert
> sich folgendermassen:
> [mm]m_a = 1/n*\sum_{i=1}^{n} x_i [/mm]
>
> der geometrische [mm]m_g[/mm] so:
> [mm]m_g = \wurzel[n]{ *\prod_{i=1}^{n} x_i} [/mm]
>
> Ich bin gerade am überlegen, worin der
> Anwendungsunterschied beider liegt. Wann nehme ich welchen?
> Ich kann dazu leider nichts ausführliches finden. Ich habe
> nur irgendwo lesen können, dass man den arithmetischen bei
> (gleichmässigen?) Intervallen der Messreihe nimmt, und den
> geometrischen bei Verhältnissen (?). Da kann ich aber nicht
> wirklich was mit anfangen..
Also der arithmetische Mittelwert ist glaube ich im Alltag der Häufigste. Du kennst ihn zum Beispiel noch von der Schule, wenn der Klassendurchschnitt errechnet wird. Man addiert einfach alles und teilt es dann durch die Anzahl.
In einem schlauen Buch finde ich noch folgendes Beispiel dazu:
Errechnet ein Kaufmann aus den Monatsumsätzen im Laufe eines Jahres den mittleren Monatsumsatz, so wendet er das arithmetische Mittel an.
Zum geometrischen Mittel steht hier erstmal folgendes Beispiel:
Möchte man aus den Zinssätzen in aufeinander folgenden Jahren den mittleren Zinssatz berechnen, so bildet man das geometrische Mittel der Zinsfaktoren [mm] 1+\bruch{p_i}{100} [/mm] (i=1,2,...); es ergibt sich der mittlere Zinsfaktor [mm] 1+\bruch{p}{100} [/mm] und damit der mittlere Zinssatz p.
Und woanders steht noch folgendes Beispiel:
Waren in drei aufeinander folgenden Jahren die Zinssätze 6 %, 9 % und 12 %, die Zinsfaktoren also 1,06; 1,09 und 1,12, dann ist der mittlere Zinsfaktor [mm] \wurzel[3]{1,06*1,09*1,12}=1,089724...; [/mm] der mittlere Zinssatz also etwas kleiner als 9 %.
Mehr weiß ich dazu leider auch nicht - reicht das? ansonsten frag nochmal nach...
Viele Grüße
Bastiane
![[cap]](/images/smileys/cap.gif "[cap]")
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:06 Mo 28.03.2005 | | Autor: | vtch |
Hallo Namensvetterin 
Deine Ausführungen helfen leider nicht wirklich weiter. Ich möchte gerne wissen, warum man mal diesen und mal den anderen Mittelwert berechnet, bzw. warum in bestimmten Situationen der eine besser als der andere ist.
Zu Deinem Beispiel mit den Zinssätzen:
Der arithmetische Mittelwert errechnet sich hier nach
[mm] \bruch{1,06 + 1,09 + 1,12}{3} = 1,09 [/mm] (achne *g*)
und liegt somit ein wenig über dem geometrischem (1,08972).
Aber warum bei den Zinssätzen in Deinem Beíspiel ausgerechnet der geometrische Mittelwert berechnet wird, kannst Du mir wahrscheinlich leider auch nicht sagen.
Gruss
Christian
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:50 Mo 28.03.2005 | | Autor: | Stefan |
Hallo Christian!
Doch, das kann man sich sogar ganz einfach klarmachen.
Nehmen wir einmal an, wir haben drei aufeinander folgende Jahreszinssätze von [mm] $1,\!06$, $1,\!09$ [/mm] und [mm] $1,\!12$ [/mm] Prozent. Was ist dann ein geeigneter "durchschnittlicher" Jahreszinssatz?
Nun, wie verzinst sich denn ein Euro in diesen drei Jahren?
Man erhält nach drei Jahren
[mm] $1,\!06 \cdot 1,\!09 \cdot 1,\!12 \cdot [/mm] 1= [mm] 1,\!294048$
[/mm]
Euro. Von einem "durchschnittlichen Zinssatz [mm] $q_m$ [/mm] würde man nun erwarten, dass entsprechend
[mm] $q_m^3 [/mm] = [mm] q_m \cdot q_m \cdot q_m [/mm] = [mm] 1,\!294948 [/mm] = [mm] 1,\!06 \cdot 1,\!09 \cdot 1,\!12$
[/mm]
gilt. Dies wird aber durch das geometrische Mittel
[mm] $q_m [/mm] = [mm] \sqrt[3]{1,\!06 \cdot 1,\!09 \cdot 1,\!23}$
[/mm]
(und nicht etwa durch das arithmetische Mittel) gewährleistet.
Viele Grüße
Stefan
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:27 Di 29.03.2005 | | Autor: | vtch |
danke
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