Argument < Komplexe Zahlen < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:37 Di 04.01.2011 | | Autor: | Random |
| Aufgabe | Bestimmen Sie Real-, Imaginäranteil, Betrag und Argument von der Komplexen Zahl:
z=-2+2*i |
Guten Tag Matheraum =)
Also Rez=-2 Imz=2.
Der Betrag: [mm] \wurzel{(-2)^2+2^2}=2*\wurzel{2}
[/mm]
Puh das wäre geschafft xD...
Beim Argument habe ich Verständnisprobleme.
Ich weiss, dass [mm] \tan(\alpha)=\bruch{Imz}{Rez}
[/mm]
Und somit ist der Winkel [mm] \alpha=\tan^{-1}\bruch{Imz}{Rez}=-0,78
[/mm]
Irgendwas läuft schief.... Ich verstehe auch nicht warum manchmal [mm] \pi [/mm] dazugerechnet wird also in welchen Fällen das passiert.
Vielen Dank schon mal im Voraus,
Ilya
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:58 Di 04.01.2011 | | Autor: | Infinit |
Hallo Ilya,
der Arcustangens ist zwar eindeutig, aber durch die Bruchbildung von Imaginär- und Realteil entsteht ein Bruch, der a) entweder positiv oder b) negativ ist. Dem Ergbnis selbst kannst du leider nicht ansehen, ob es deswegen positiv ist, weil Real- und Imaginärteil beide positiv waren oder ob dies deswegen der Fall ist, weil beide Anteile der komplexen Zahl negativ waren. Entsprechend ist es bei einem negativen Ergebnis, denn dieses kann durch eine komplexe Zahl zustande kommen, die entweder im zweiten oder im vierten Quadranten liegt. Insofern muss man nach der Bestimmung des Arcustangens immer noch mal kontrollieren, ob man nicht um 180 Grad daneben liegt.
In Deinem Beispiel mit
[mm] \varphi = \arctan (\bruch{-2}{2}) = - 1 [/mm]
bekommst Du - 45 Grad heraus, hier wäre der Realteil positiv und der Imaginärteil negativ. Das stimmt aber nicht mit Deiner gegebenen komplexen Zahl überein, die im 2. Quadranten liegt. Hier musst Du also nochmal 180 Grad dazuaddieren, der richtige Winkel ist demzufolge 135 Grad.
Viele Grüße,
Infinit
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:05 Di 04.01.2011 | | Autor: | Random |
Danke sehr dann habe ich noch zwei Fragen =):
1) Wieso ist [mm] arctan(\bruch{-2}{2})=arctan(-1)=-45° [/mm] ?
Also wie kommt man da auf -45°? Es kommt ja -0,78 oder so raus...
2) Also wenn ich die komplexe Zahl anschaue und sehe aha sie liegt entweder im 2. oder im 4. Quadranten kann ich den Winkel immer um 180° also um [mm] \pi [/mm] erhöhen?
In meinem Beispiel gehe ich -2 nach links und 2 nach oben im Koordinatensystem und sehe, dass die Zahl im 2. Quadranten liegt und addiere dann [mm] \pi [/mm] auf die -45° (von den ich noch nicht weiss wie die bestimmt wurden)?
Vielen Dank nochmal im Voraus,
Ilya
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:16 Di 04.01.2011 | | Autor: | Infinit |
Hallo ilya,
augenscheinlich hast Du Deinen Rechner im Bogenmaß laufen, dann kommt dieser Wert raus. In Grad umgerechnet sind es - 45 Grad.
Natürlich addierst Du nicht immer 180 Grad dazu, falls die Werte schon im richtigen Quadranten liegen, macht dies natürlich keinen Sinn.
Ein einfaches Beispiel:
Betrachte die komplexe Zahl
[mm] z = 2 - 2i [/mm]
Diese Zahl liegt bereits im vierten Quadranten, Dein Ergebnis von -45 Grad stimmt also in diesem Fall.
Viele Grüße,
Infinit
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:31 Di 04.01.2011 | | Autor: | Random |
Danke sehr!
Ja hab das mit Bogenmaß im Rechner komplet vergessen xD.
zu 2) Ich habe nicht ganz verstanden wie ich herausfinde, ob mein Ergebnis im richtigen Quadranten liegt oder nicht. In deinem Tipps-Beitrag hast du es zwar erklärt, aber irgendwie wird es mir nicht ganz klar.
Nach welchen Kriterien muss ich schauen? Muss ich gucken, welche Vorzeichen die beiden Anteile der komplexen Zahl haben? Wenn ja was sagen mir diese?
Also bei 2-2i bin ich, wie du sagtest, im richtigen Quadranten und muss nicht erhöhen
und bei -2+2i im falschen und muss erhöhen, aber wieso? xD
Bei 2-2i: [mm] \bruch{-2}{2}
[/mm]
Bei -2+2i: [mm] \bruch{2}{-2}
[/mm]
Kann ich hier schon sehen, ob ich im richtigen Quadranten bin?
Vielen Dank im Voraus,
Ilya
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:41 Di 04.01.2011 | | Autor: | Infinit |
Hallo ilya,
an dem noch nicht ausgerechneten Bruch kannst Du erkennen, wo die komplexe Zahl liegt, denn Du weisst, dass im Zähler der Imaginärteil und im Nenner der Realteil steht. Beide Beispiele ergeben jedoch den Wert -1 und wenn du nur diesen Wert betrachtest, dann ist eben die Mehrdeutigkeit wieder da und Du musst mit der ursprünglichen Ausgangszahl Dein Ergebnis vergleichen.
Viele Grüße,
Infinit
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:49 Di 04.01.2011 | | Autor: | Random |
Okay also wenn ich die Zahl -2+2i habe weiss ich, dass diese im 2.Quadranten liegt, jedoch liegt die Lösung arctan(-1) im 4. Quadranten. Also erhöhe ich um [mm] \pi [/mm] um in den 2. Quadranten zu kommen.
Bei der Zahl 2-2i weiss ich, dass diese im 4. Quadranten liegt und die Lösung -45° ebenfalls also muss ich nichts erhöhen.
Habe ich das richtig verstanden?
Ilya
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Hallo Random,
> Okay also wenn ich die Zahl -2+2i habe weiss ich, dass
> diese im 2.Quadranten liegt, jedoch liegt die Lösung
> arctan(-1) im 4. Quadranten. Also erhöhe ich um [mm]\pi[/mm] um in
> den 2. Quadranten zu kommen.
>
> Bei der Zahl 2-2i weiss ich, dass diese im 4. Quadranten
> liegt und die Lösung -45° ebenfalls also muss ich nichts
> erhöhen.
>
> Habe ich das richtig verstanden?
>
Ja, das hast Du.
> Ilya
Gruss
MathePower
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:00 Di 04.01.2011 | | Autor: | Infinit |
Hallo Ilya,
so ist es. Immer gegenchecken, um sicherzugehen.
Viele Grüße,
Infinit
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:17 Di 04.01.2011 | | Autor: | Random |
Vieln Dank nochmal Infinit!!!
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