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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:01 Sa 16.02.2013 | | Autor: | sissenge |
| Aufgabe | | Ich habe eine Aufgabe in Physik, da geht es um Intensitätsverteilung bei einer Beugung am Spalt. Bei der Berechnen tritt folgende Gleichung auf: |
[mm] 0=sin^{2}(\bruch{\pi b}{\lambda} [/mm] sin(1))
Nun wende ich den arcsin an:
[mm] arcsin^{2}(0)= \bruch{\pi b}{\lambda} [/mm] sin(1)
so weit so gut. Nun steht in meiner Lösung, dass daraus folgendes wird:
n [mm] \pi [/mm] = [mm] \bruch{\pi b}{\lambda} [/mm] sin(1)
Und genau diesen Schritt verstehe ich absolut nicht. Der arcsin von 0 ist doch null oder konvergiert er gegen [mm] n\pi???
[/mm]
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:15 Sa 16.02.2013 | | Autor: | abakus |
> Ich habe eine Aufgabe in Physik, da geht es um
> Intensitätsverteilung bei einer Beugung am Spalt. Bei der
> Berechnen tritt folgende Gleichung auf:
> [mm]0=sin^{2}(\bruch{\pi b}{\lambda}[/mm] sin(1))
>
> Nun wende ich den arcsin an:
>
> [mm]arcsin^{2}(0)= \bruch{\pi b}{\lambda}[/mm] sin(1)
>
> so weit so gut. Nun steht in meiner Lösung, dass daraus
> folgendes wird:
>
> n [mm]\pi[/mm] = [mm]\bruch{\pi b}{\lambda}[/mm] sin(1)
>
> Und genau diesen Schritt verstehe ich absolut nicht. Der
> arcsin von 0 ist doch null oder konvergiert er gegen
> [mm]n\pi???[/mm]
Hallo,
Die Sinusfubktion hat als periodische Funktion keine insgesamt geltende Umkehrfunktion.
Die arcsin-Funktion ist nur Umkehrfunktion, wenn man die Sinusfunktion auf das Intervall [ [mm] $-\frac\pi2$;$\frac\pi2$ [/mm] ] beschränkt.
Gruß Abakus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:32 Sa 16.02.2013 | | Autor: | sissenge |
Und das heißt?? also wieso kommt man auf n [mm] \pi????
[/mm]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:43 Sa 16.02.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Und das heißt?? also wieso kommt man auf n [mm]\pi????[/mm]
das heißt, wenn Du die Gleichung
[mm] $$\sin(x)=0$$
[/mm]
für $x [mm] \in \IR$ [/mm] lösen willst, so ist dabei die Verwendung des ![[]](/images/popup.gif) Arkussinus (klick!)
'nur' ein Hilfsmittel - denn der Arkussinus ist die Umkehrfunktion von [mm] $\sin_{|[-\tfrac{\pi}{2},\tfrac{\pi}{2}]}\,,$ [/mm]
also der Einschränkung der Sinusfunktion auf [mm] $[-\tfrac{\pi}{2},\tfrac{\pi}{2}]\,.$ [/mm]
Die Sinusfunktion selbst kann keine Umkehrfunktion haben, denn sie ist
nicht injektiv, da sie [mm] $2\pi$-periorisch [/mm] ist.
Du kannst Dir behalten, und das siehst Du sofort anhand der Sinusdefinition
am Einheitskreis oder aber anhand des Graphen der Sinusfunktion
(Erinnerung:
Wie erkennt man anhand des Graphen von $x [mm] \mapsto \sin(x)\,,$ [/mm] an
welchen Stellen [mm] $\sin(x)=0$ [/mm] gilt? Richtig: [mm] $x\,$-Koordinate [/mm] der
Schnittpunkte des Graphen mit der [mm] $x\,$-Achse...):
[/mm]
Es gilt
[mm] $$\sin(x)=0$$
[/mm]
genau dann, wenn [mm] $x=\pi*k$ [/mm] mit einem $k [mm] \in \IZ$ [/mm] ist.
Analog:
[mm] $$\cos(x)=0$$
[/mm]
genau dann, wenn [mm] $x=\tfrac{\pi}{2}+k*\pi$ [/mm] mit einem $k [mm] \in \IZ\,.$
[/mm]
Anders gesagt:
[mm] $$\sin(x)=0 \iff [/mm] x [mm] \in \pi*\IZ$$
[/mm]
und
[mm] $$\cos(x)=0 \iff [/mm] x [mm] \in \tfrac{\pi}{2}+\pi*\IZ$$
[/mm]
Die Bedeutung/Definition der Mengen [mm] $\pi*\IZ$ [/mm] und [mm] $\tfrac{\pi}{2}+\pi*\IZ$
[/mm]
schreibe ich nicht mehr explizit hin, sie ergibt sich eigentlich aus dem vorher
gesagten...
Gruß,
Marcel
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Hallo sissenge,
Marcel schreibt gerade an einer Antwort auf Deine zweite (bzw. wiederholte) Frage, deswegen nur ein kurzer Hinweis auf etwas anderes:
> Ich habe eine Aufgabe in Physik, da geht es um
> Intensitätsverteilung bei einer Beugung am Spalt. Bei der
> Berechnen tritt folgende Gleichung auf:
> [mm]0=sin^{2}(\bruch{\pi b}{\lambda}[/mm] sin(1))
>
> Nun wende ich den arcsin an:
>
> [mm]arcsin^{2}(0)= \bruch{\pi b}{\lambda}[/mm] sin(1)
>
> so weit so gut.
Nein, gar nicht gut. Die richtige Auflösung wäre doch
[mm] \arcsin{\wurzel{0}}=\bruch{\pi b}{\lambda}\sin{(1)}
[/mm]
Berechne doch mal zum Vergleich, was die Lösung gewesen wäre, wenn Du
[mm] \bruch{3}{4}=\sin^2{\left(\bruch{\pi b}{\lambda}\sin{(1)}\right)} [/mm] gehabt hättest.
> Nun steht in meiner Lösung, dass daraus
> folgendes wird:
>
> n [mm]\pi[/mm] = [mm]\bruch{\pi b}{\lambda}[/mm] sin(1)
>
> Und genau diesen Schritt verstehe ich absolut nicht. Der
> arcsin von 0 ist doch null oder konvergiert er gegen
> [mm]n\pi???[/mm]
Sagen wirs mal so: [mm] \sin{(n\pi)}=0.
[/mm]
Genauer wird es Marcel erklären, da bin ich sicher.
Grüße
reverend
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:45 Sa 16.02.2013 | | Autor: | fred97 |
> Ich habe eine Aufgabe in Physik, da geht es um
> Intensitätsverteilung bei einer Beugung am Spalt. Bei der
> Berechnen tritt folgende Gleichung auf:
> [mm]0=sin^{2}(\bruch{\pi b}{\lambda}[/mm] sin(1))
Also [mm]0=sin(\bruch{\pi b}{\lambda}[/mm] sin(1))
>
> Nun wende ich den arcsin an:
>
> [mm]arcsin^{2}(0)= \bruch{\pi b}{\lambda}[/mm] sin(1)
Das ist doch Unsinn !
Mit dieser "Methode" würde aus [mm] a=(e^b)^2 [/mm] folgen: [mm] ln^2(a)=b.
[/mm]
>
> so weit so gut. Nun steht in meiner Lösung, dass daraus
> folgendes wird:
>
> n [mm]\pi[/mm] = [mm]\bruch{\pi b}{\lambda}[/mm] sin(1)
>
> Und genau diesen Schritt verstehe ich absolut nicht. Der
> arcsin von 0 ist doch null oder konvergiert er gegen
> [mm]n\pi???[/mm]
Oh, mann !
sin(x)= 0 [mm] \gdw [/mm] es ex. ein n [mm] \in \IZ: [/mm] $x=n* [mm] \pi$
[/mm]
Bei Dir ist [mm] $x=\bruch{\pi b}{\lambda}sin(1)$
[/mm]
FRED
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:40 Sa 16.02.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
nur, damit dass auch nochmal ganz klar wird:
> Ich habe eine Aufgabe in Physik, da geht es um
> Intensitätsverteilung bei einer Beugung am Spalt. Bei der
> Berechnen tritt folgende Gleichung auf:
> [mm]0=sin^{2}(\bruch{\pi b}{\lambda}[/mm] sin(1))
strenggenommen gilt für $x [mm] \ge [/mm] 0$ und $y [mm] \in \IR$ [/mm] ja erstmal nur
[mm] $$x=y^2 \iff \sqrt{x}=\sqrt{y^2} \iff |y|=\sqrt{x}\,,$$
[/mm]
denn es gilt keineswegs [mm] $\sqrt{y^2}=y\,,$ [/mm] SONDERN [mm] $\sqrt{y^2}=|y|$ [/mm] für alle $y [mm] \in \IR\,.$
[/mm]
(Die Gleichheit [mm] ${\sqrt{y}\,}^2=y=\sqrt{{y\,}^2}$ [/mm] gilt "nur" für alle $y [mm] \red{\;\ge 0\;}\,.$ [/mm] Denn für
$y < [mm] 0\,$ [/mm] ist [mm] $\sqrt{y}$ [/mm] in [mm] $\IR$ [/mm] ja erstmal gar nicht erst definiert, so dass man
[mm] ${\sqrt{y}\,}^2$ [/mm] dann schon gar nicht hinschreiben könnte, und zudem wäre
[mm] $\sqrt{{y\,}^2}=\;-\;y=|y|$ [/mm] für $y < [mm] 0\,.$ [/mm] Wenn es unklar ist, überzeuge Dich
meinetwegen erstmal anhand eines Beispiels davon:
[mm] $\sqrt{{(-3)}^2}=\sqrt{9}=\ldots$)
[/mm]
Also
[mm] $$0=\sin^2(\tfrac{\pi b}{\lambda}*\sin(1)) \iff |\sin(\tfrac{\pi b}{\lambda}*\sin(1))|=\sqrt{0} \iff |\sin(\tfrac{\pi b}{\lambda}*\sin(1))|=0$$
[/mm]
wegen [mm] $\sqrt{0}=0\,.$ [/mm]
Nun gilt aber für reelles (und sogar komplexes) [mm] $r\,$ [/mm] zudem
$$|r|=0 [mm] \iff r=0\,,$$
[/mm]
und damit erhältst Du insgesamt
[mm] $$0=\sin^2(\tfrac{\pi b}{\lambda}*\sin(1)) \iff |\sin(\tfrac{\pi b}{\lambda}*\sin(1))|=\sqrt{0} \iff |\sin(\tfrac{\pi b}{\lambda}*\sin(1))|=0$$
[/mm]
[mm] $$\iff \sin(\tfrac{\pi b}{\lambda}*\sin(1))=0\,.$$
[/mm]
Die Überlegungen mit der Wurzel oben habe ich deshalb geschrieben, weil
sie allgemeiner gelten:
So gilt etwa für $x [mm] \red{\;\in\;\IR}$
[/mm]
[mm] $$x^2=9 \iff |x|=\sqrt{9} \iff |x|=3\;\;\;(\iff [/mm] (x=3 [mm] \text{ oder }x=\;-\;3))\,,$$
[/mm]
unter Beachtung von [mm] $3=\sqrt{9}\,.$
[/mm]
Das Ganze kann man sich im Übrigen am Besten sogar vermittels der
dritten binomischen Formel herleiten, wenn man es mal vergißt:
[mm] $$x^2=9 \iff x^2-9=0 \iff (x+\sqrt{9})*(x-\sqrt{9})=0 \iff [/mm] (x+3)*(x-3)=0 [mm] \iff [/mm] x=3 [mm] \text{ oder }x=-3\,.$$
[/mm]
Gruß,
Marcel
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