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| Aufgabe | Ein Teilchen bewege sich in der xy-Ebene entlang einer Kreisbahn mit Radius R (Mittel-punkt = Koordinatenursprung) durch ein Kraftfeld F (r) = f0 r × ez .
(a) Welche Arbeit wird an dem Teilchen pro Umlauf geleistet? (Tipp: Verwenden Sie Zylinderkoordinaten.) |
servus,
W = [mm] \integral_{a}^{b}{(f_{0}\overrightarrow{r}X e_{x}) d\overrightarrow{r}} [/mm] = [mm] \integral_{a}^{b}{(f_{0} (r*cos(\alpha), r*sin(\alpha), 0) X (0,0,z)) d\overrightarrow{r}}
[/mm]
kann ich [mm] d\overrightarrow{r} [/mm] als parametrisierten vektor so angeben:
(r*cos(t) , r*sin(t), 0) ? Oder muss ich eine spezielle Kreisgleichung benutzen ala [mm] x^2+y^2 [/mm] ?
mfg
Duff
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:39 Di 12.06.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
wenn du mit [mm] d\vec{r} d\vec{s} [/mm] meinst ist der vordere Teil richtig,
aber dr bzw ds ist falsch, du hast einfach [mm] \vec{r} [/mm] geschrieben. die Bahn und die Kraft liegen in der x-y Ebene, also kannst du auch 2 d rechnen. was ist dann ds?
vieleicht zeichnest du mal ds ein?
Gruss leduart
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moin leduart
ds wäre dann einfach [mm] r*sin\alpha [/mm] weil ja eine einfache Kreisbahn beschrieben wird? Aber ich verstehe nicht wieso ich in 2d rechnen soll. Ein Vektorprodukt funktioniert doch nur in 3D und wenn ds = [mm] r*sin\alpha [/mm] dann müsste ich ein Skalarprodukt von einem 3D Vektor mit etwas das 2D ist machen, geht auch nicht. Es muss doch aber 3d sein weil der [mm] e_{z} [/mm] gegeben ist, und der ist ja (0,0,z) also 3D, in der Aufgabe ist auch von Zylinderkoordinaten die rede.
Mfg an leduart
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Hallo Mathe-Duff,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
natürlich braucht man ein 3D-Koordinatensystem wegen
des Vektorproduktes - man könnte aber alternativ dazu
auch alles in 2D beschreiben.
Ziemlich wichtig (und nützlich !) ist es, alles formal
klar zu notieren.
Wir haben also:
R = Radius der Kreisbahn
[mm] $\vec{r}(t)\ [/mm] =\ [mm] R*\pmat{cos(t)\\sin(t)\\0}$ [/mm] für [mm] 0\le{t}\le2\,\pi [/mm]
(Parametrisierung eines Umlaufes)
[mm] $\vec{F}(\vec{r})\ [/mm] =\ [mm] f_0*\vec{r}(t)\times\vec{e_z}$
[/mm]
Dies solltest du einfach mal komplett ausrechnen.
Gesucht ist dann das Arbeitsintegral
$\ W\ =\ [mm] \integral_{t=0}^{2\,\pi}\vec{F}(\vec{r})\ d\,\vec{r}\ [/mm] =\ [mm] \integral_{t=0}^{2\,\pi}\vec{F}(\vec{r}(t))* \dot{\vec{r}}(t)\ d\,t$
[/mm]
Was also dazu noch zu berechnen ist, ist die Ableitung
[mm] \dot{\vec{r}}(t) [/mm] , ein Skalarprodukt und dann der Wert
des Integrals.
LG Al-Chw.
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Hallo Al-Chwarizmi, vielen dank für die Begrüßung und Hilfe :)
Was ich nicht ganz verstehe, ist bei
[mm] \integral_{t=0}^{2\,\pi}\vec{F}(\vec{r}(t))\cdot{} \dot{\vec{r}}(t)\ d\,t
[/mm]
das r(t) gleich?
Wenn ja:
W = [mm] f_{0}r^2z \integral_{0}^{2\pi}{\vektor{sin(t) \\ cos(t)} * \vektor{-sin(t) \\ cos(t)} dt} [/mm] = [mm] f_{0}r^2z \integral_{0}^{2\pi}{cos(2t) dt} [/mm] = [sin(t)cos(t)] = [mm] (sin(4\pi)cos(4\pi))= f_{0}r^2z
[/mm]
Mfg
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 23:23 Di 12.06.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
r(t) steht doch in dem post, was heisst es ist gleich?
Gruss leduart
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> Was ich nicht ganz verstehe, ist bei
>
> [mm]\integral_{t=0}^{2\,\pi}\vec{F}(\vec{r}(t))\cdot{} \dot{\vec{r}}(t)\ d\,t[/mm]
>
> das r(t) gleich ?
Wir hatten doch: $ [mm] \vec{r}(t)\ [/mm] =\ [mm] R\cdot{}\pmat{cos(t)\\sin(t)\\0} [/mm] $
Die Ableitung davon ist: $ [mm] \dot{\vec{r}}(t)\ [/mm] =\ [mm] R\cdot{}\pmat{-sin(t)\\cos(t)\\0} [/mm] $
Ferner ist: $ [mm] \vec{F}(\vec{r}(t))\ [/mm] =\ [mm] f_0\cdot{}\left[\vec{r}(t)\times\vec{e_z}\right]\ [/mm] =\ [mm] f_0\cdot{}R\cdot{}\left[\pmat{cos(t)\\sin(t)\\0}\times\pmat{0\\0\\1}\right]\ [/mm] =\ [mm] f_0\cdot{}R\cdot{}\pmat{sin(t)\\-cos(t)\\0} [/mm] $
> Wenn ja:
>
> W = [mm]f_{0}r^2z \integral_{0}^{2\pi}{\vektor{sin(t) \\ cos(t)} * \vektor{-sin(t) \\ cos(t)} dt}\ =\ f_{0}r^2z \integral_{0}^{2\pi}{cos(2t) dt}\ =\ [sin(t)cos(t)]\ =\ (sin(4\pi)cos(4\pi))= f_{0}r^2z[/mm] ![[kopfschuettel]](/images/smileys/kopfschuettel.gif "[kopfschuettel]")
Ich verstehe nicht, wie da z.B. ein Faktor z hereinkommen soll ...
Ferner: wieso hast du jetzt doch nur 2D-Vektoren ? Wo ist das
Vektorprodukt geblieben ?
LG Al-Chw.
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hoi,
hö ich dachte ez = (0,0,z) wegen den Polarkoordinaten. Und z ist da doch immer gleich, in diesem Fall. Und wegen den 2D Vektoren da hab ich einfach die 0 weggelassen, ok war schwachsinnig sry.
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> hoi,
> hö ich dachte ez = (0,0,z) wegen den Polarkoordinaten.
> Und z ist da doch immer gleich, in diesem Fall.
ja, nämlich z=1 (denn [mm] \vec{e}_z [/mm] steht für den Einheitsvektor
in z-Richtung) ...
LG und ![[gutenacht]](/images/smileys/gutenacht.gif "[gutenacht]")
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Danke, dir auch :) (auch wenns schon morgen is :D)
Also stimmt alles bis auf dieses z das ja 1 ist, und das ich halt aus den 2d wieder 3d vektoren mache? Sry bin noch nicht so vertraut mit diesen Integralen wo dann auch noch Vektoren mit Vektorprodukt/Skalarprodukt und auch noch parameter usw. dabei sind :D
Gruß
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> Danke, dir auch :) (auch wenns schon morgen is :D)
>
> Also stimmt alles bis auf dieses z das ja 1 ist, und das
> ich halt aus den 2d wieder 3d vektoren mache?
Zeig doch nochmal deine jetzt redigierte Rechnung,
damit man sie überprüfen kann !
Al-Chw.
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So:
[mm] f_{0}R^2 \integral_{0}^{2\pi}{\vektor{sin(t) \\ -cos(t) \\ 0} \cdot{} \vektor{-sin(t) \\ cos(t) \\ 0 }}dt [/mm] = [mm] f_{0}R^2 \integral_{0}^{2\pi}{-dt}\ [/mm] = [-t] = [mm] (-2\pi)= -2\pi f_{0}R^2
[/mm]
Gruß :)
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> So:
> [mm]f_{0}R^2 \integral_{0}^{2\pi}{\vektor{sin(t) \\ -cos(t) \\ 0} \cdot{} \vektor{-sin(t) \\ cos(t) \\ 0 }}dt[/mm]
> = [mm]f_{0}R^2 \integral_{0}^{2\pi}{-dt}\[/mm] = [-t] = [mm](-2\pi)= -2\pi f_{0}R^2[/mm]
>
> Gruß :)
Ja, nun stimmt die Rechnung und das Ergebnis.
Nur die Notation ist insofern noch nicht richtig,
als du zwei Schritte in die Gleichungskette einge-
baut hast, die da eigentlich so nicht hineingehören,
sondern Nebenrechnungen sind.
Willst du alles als Gleichungskette schreiben, so
sollte es etwa so aussehen:
$\ [mm] f_{0}\,R^2 \integral_{0}^{2\pi}{\vektor{sin(t) \\ -cos(t) \\ 0} \cdot{} \vektor{-sin(t) \\ cos(t) \\ 0 }}dt\ [/mm] =\ [mm] f_{0}\,R^2 \integral_{0}^{2\pi}{-dt}\ [/mm] =\ [mm] f_{0}R^2*[-t] |_{t=0}^{2\,\pi}\ [/mm] =\ [mm] f_{0}*R^2*(-2\pi)\ [/mm] =\ [mm] -2\pi *f_{0}*R^2$
[/mm]
LG Al-Chw.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:20 Mi 13.06.2012 | | Autor: | Mathe-Duff |
Ja stimmt :) ich hab die Symbole für die Grenzen mit der eckigen Klammer nicht gefunden :)
Aber gut, vielen Dank für die Hilfe, hat sehr geholfen :)
Und ich wünsche dann noch einen schönen Tag :)
Mfg
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