Arbeitsintegral < Integrationstheorie < Maß/Integrat-Theorie < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | Das ebene Kraftfeld (vektor)F: [mm] \IR^2 [/mm] -> [mm] \IR^2 [/mm] sei durch
(vektor)F(x,y)=(cxy , [mm] x^6y^2) [/mm] gegeben, wobei c > 0. Ein Masseteilchen wird vom Nullpunkt aus längs des Weges [mm] \gamma:[0,1] [/mm] -> [mm] \IR^2,
[/mm]
[mm] \gamma(t)=(t [/mm] , [mm] at^b) [/mm]
zur Geraden x = 1 bewegt, wobei a,b > 0. Man bestimme a (als Ausdruck in c) so, dass die verrichtete Arbeit A nicht von b abhängt. |
Mein lösungsversuch:
[mm] \integral_0^1 (cat^{b+1} [/mm] , [mm] a^2t^{2b+6}) [/mm] * (1 , [mm] abt^{b-1})dt [/mm] = [mm] \integral_0^1 cat^{b+1} [/mm] + [mm] a^3bt^{3b+5} [/mm] dt = ca * [mm] \integral_0^1 t^{b+1} [/mm] dt + [mm] a^{3b} \integral_0^1 t^{3b+5} [/mm] dt = [mm] \bruch{ca}{b+2}*1^{b+2} [/mm] + [mm] \bruch{a^3b}{3b+6}*1^{3b+6}
[/mm]
weiter komm ich nicht.
|
|
| |
|
Hallo BlubbBlubb,
> Das ebene Kraftfeld (vektor)F: [mm]\IR^2[/mm] -> [mm]\IR^2[/mm] sei durch
>
> (vektor)F(x,y)=(cxy , [mm]x^6y^2)[/mm] gegeben, wobei c > 0. Ein
> Masseteilchen wird vom Nullpunkt aus längs des Weges
> [mm]\gamma:[0,1][/mm] -> [mm]\IR^2,[/mm]
>
> [mm]\gamma(t)=(t[/mm] , [mm]at^b)[/mm]
>
> zur Geraden x = 1 bewegt, wobei a,b > 0. Man bestimme a
> (als Ausdruck in c) so, dass die verrichtete Arbeit A nicht
> von b abhängt.
> Mein lösungsversuch:
>
>
> [mm]\integral_0^1 (cat^{b+1}[/mm] , [mm]a^2t^{2b+6})[/mm] * (1 , [mm]abt^{b-1})dt[/mm]
> = [mm]\integral_0^1 cat^{b+1}[/mm] + [mm]a^3bt^{3b+5}[/mm] dt = ca *
> [mm]\integral_0^1 t^{b+1}[/mm] dt + [mm]a^{3b} \integral_0^1 t^{3b+5}[/mm] dt
> = [mm]\bruch{ca}{b+2}*1^{b+2}[/mm] + [mm]\bruch{a^3b}{3b+6}*1^{3b+6}[/mm]
>
> weiter komm ich nicht.
Setze [mm]\bruch{ca}{b+2} +\bruch{a^3b}{3b+6}=\bruch{\mu\left(a,c)*\left(b+2\right)}{b+2}=\mu\left(a,c\right)[/mm]
Durch ![[]](/images/popup.gif) Koeffizientenvergleich erhältst Du das [mm]\mu\left(a,c\right)[/mm].
Gruß
MathePower
|
|
|
| |
|
wie ein koeffizientenvergleich funktioniert weiß ich, aber ich hab trotzdem problem den richtigen ansatz zu finden.
> Setze [mm]\bruch{ca}{b+2} +\bruch{a^3b}{3b+6}=\bruch{\mu\left(a,c)*\left(b+2\right)}{b+2}=\mu\left(a,c\right)[/mm]
>
> Durch Koeffizientenvergleich
> erhältst Du das [mm]\mu\left(a,c\right)[/mm].
>
>
> Gruß
> MathePower
wie siehte denn jetzt der ansatz aus, weil für einen koeffizenten vergleich kann ich doch nicht rechnen:
[mm] \mu\left(a,c\right)*(b+2)=3ca+a^3*b [/mm] , denn ich müßte doch dazu wissen wie die funktion [mm] \mu [/mm] aussieht um die koeffizienten richtig zu bestimmen.
|
|
|
| |
|
Hallo BlubbBlubb,
> wie ein koeffizientenvergleich funktioniert weiß ich, aber
> ich hab trotzdem problem den richtigen ansatz zu finden.
>
>
> > Setze [mm]\bruch{ca}{b+2} +\bruch{a^3b}{3b+6}=\bruch{\mu\left(a,c)*\left(b+2\right)}{b+2}=\mu\left(a,c\right)[/mm]
>
> >
> > Durch Koeffizientenvergleich
> > erhältst Du das [mm]\mu\left(a,c\right)[/mm].
> >
> >
> > Gruß
> > MathePower
>
>
> wie siehte denn jetzt der ansatz aus, weil für einen
> koeffizenten vergleich kann ich doch nicht rechnen:
>
> [mm]\mu\left(a,c\right)*(b+2)=3ca+a^3*b[/mm] , denn ich müßte doch
> dazu wissen wie die funktion [mm]\mu[/mm] aussieht um die
> koeffizienten richtig zu bestimmen.
>
Das musst Du nicht wissen.
Nun vergleiche die Koeffizienten, die jeweils vor dem b stehen, dann erhältst Du diese ominöse Funktion.
>
>
>
Gruß
MathePower
|
|
|
| |
|
> Nun vergleiche die Koeffizienten, die jeweils vor dem b
> stehen, dann erhältst Du diese ominöse Funktion.
>
nagut dann hätte ich
> > [mm]\mu\left(a,c\right)*(b+2)=3ca+a^3*b[/mm]
[mm] \mu [/mm] (a,c) *b + [mm] 2*\mu(a,c)=3ca+a^3*b
[/mm]
b: [mm] \mu(a,c)=a^3 [/mm]
|
|
|
| |
|
Hallo BlubbBlubb,
> > Nun vergleiche die Koeffizienten, die jeweils vor dem b
> > stehen, dann erhältst Du diese ominöse Funktion.
> >
>
> nagut dann hätte ich
>
> > > [mm]\mu\left(a,c\right)*(b+2)=3ca+a^3*b[/mm]
> [mm]\mu[/mm] (a,c) *b + [mm]2*\mu(a,c)=3ca+a^3*b[/mm]
>
> b: [mm]\mu(a,c)=a^3[/mm]
>
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Wie Du jetzt feststellen wirst, muß auch
[mm]2*\mu\left(a,c\right)=3ca[/mm]
erfüllt sein. damit das Arbeitsintegral von b unabhängig ist.
>
>
Gruß
MathePower
|
|
|
| |
|
ok habs jetzt nochmal ausführlich:
[mm] \bruch{ca}{b+2} [/mm] + [mm] \bruch{a^3b}{3b+6} [/mm] = [mm] \bruch{ca + \bruch{1}{3}a^3b}{b+2} [/mm]
[mm] \bruch{ca + \bruch{1}{3}a^3b}{b+2} [/mm] = [mm] \bruch{\mu(a,c)*(b+2)}{b+2}
[/mm]
koeffizientenvergleich:
[mm] b^0: [/mm] ca = 2 [mm] \mu(a,c)
[/mm]
[mm] b^1: \bruch{a^3}{3} [/mm] = [mm] \mu(a,c) [/mm]
[mm] \bruch{a^3}{3} [/mm] = [mm] \bruch{ca}{2} [/mm]
a = [mm] \wurzel{\bruch{3c}{2}}
[/mm]
a eingesetzt in [mm] b^1: [/mm]
A = [mm] \mu(c) [/mm] = [mm] \bruch{1}{3} [/mm] * [mm] \wurzel{\bruch{3c}{2}}^3 [/mm]
ist die aufgabenstellung so komplett berücksichtigt und richtig gelöst?
|
|
|
| |
|
Hallo BlubbBlubb,
> ok habs jetzt nochmal ausführlich:
>
> [mm]\bruch{ca}{b+2}[/mm] + [mm]\bruch{a^3b}{3b+6}[/mm] = [mm]\bruch{ca + \bruch{1}{3}a^3b}{b+2}[/mm]
>
> [mm]\bruch{ca + \bruch{1}{3}a^3b}{b+2}[/mm] =
> [mm]\bruch{\mu(a,c)*(b+2)}{b+2}[/mm]
>
> koeffizientenvergleich:
>
> [mm]b^0:[/mm] ca = 2 [mm]\mu(a,c)[/mm]
> [mm]b^1: \bruch{a^3}{3}[/mm] = [mm]\mu(a,c)[/mm]
>
> [mm]\bruch{a^3}{3}[/mm] = [mm]\bruch{ca}{2}[/mm]
>
> a = [mm]\wurzel{\bruch{3c}{2}}[/mm]
>
> a eingesetzt in [mm]b^1:[/mm]
>
> A = [mm]\mu(c)[/mm] = [mm]\bruch{1}{3}[/mm] * [mm]\wurzel{\bruch{3c}{2}}^3[/mm]
>
>
> ist die aufgabenstellung so komplett berücksichtigt und
> richtig gelöst?
Ja, alles richtig.
Gruß
MathePower
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:19 So 23.11.2008 | | Autor: | BlubbBlubb |
ja super danke ^^
|
|
|
|
