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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:07 So 10.11.2013 | | Autor: | flo1191 |
| Aufgabe | Seien $ [mm] \Z [/mm] $ x $ [mm] \Z [/mm] $ die Punkte in der Ebene mit ganzzahligen Koordinaten. [mm] \\
[/mm]
Definiere, für [mm] $x_1,x_2,y_1,y_2 \in [/mm] Z$,
[mm] $(x_1, x_2)R(y_1, y_2)$ [/mm] genau dann, wenn [mm] $|x_1| [/mm] + [mm] |x_2| [/mm] = [mm] |y_1| [/mm] + [mm] |y_2|$.
[/mm]
Weisen Sie nach, dass R eine "Aquivalenzrelation ist.
Was ist die Äquivalenzklasse von (2; 1)? |
Hallo,
wir sind uns bei der Aufgabe nicht ganz sicher. Haben folgendes bereits als "Lösung", sind aber 1. nicht sicher, ob das so korrekt ist - und - insbesondere, ob es als Beweis reicht?
Wäre super, wenn uns da mal jemand einen Tipp geben könnte, insbesondere bezüglich der Äquivalenzklasse 
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Damit die Relation äquivalent ist, muss sie reflexiv, symmetrisch und transitiv [mm] sein.\\
[/mm]
(r) reflexiv: [mm] $\forall$ [/mm] x [mm] $\in \Z$ [/mm] gilt $xRx$ [mm] \\
[/mm]
(s) symmetrisch: [mm] $\forall [/mm] x,y [mm] \in \Z$ [/mm] gilt $xRy [mm] \rightarrow [/mm] yRx$ [mm] \\
[/mm]
(t) transitiv: [mm] $\forall [/mm] x,y,z [mm] \in\Z$ [/mm] gilt $(xRy [mm] \land [/mm] yRz) [mm] \rightarrow [/mm] xRz$ [mm] \\
[/mm]
Die Relation ist reflexiv, da [mm] \\
[/mm]
[mm] $|x_1| [/mm] + [mm] |x_2| [/mm] = [mm] |x_1| [/mm] + [mm] |x_2|$ [/mm] also [mm] $(x_1,x_2) \sim (x_1,x_2)$\\
[/mm]
[mm] $|y_1| [/mm] + [mm] |y_2| [/mm] = [mm] |y_1| [/mm] + [mm] |y_2|$ [/mm] also [mm] $(y_1,y_2) \sim (y_1,y_2)$
[/mm]
Die Relation ist symmetrisch, da [mm] \\
[/mm]
[mm] $|x_1| [/mm] + [mm] |x_2| [/mm] = [mm] |y_1| [/mm] + [mm] |y_2| \rightarrow |y_1| [/mm] + [mm] |y_2| [/mm] = [mm] |x_1| [/mm] + [mm] |x_2|$ [/mm] also [mm] $(x_1,x_2) \sim (y_1,y_2) \rightarrow (y_1,y_2) \sim (x_1,x_2)$
[/mm]
Die Relation ist transitiv, da [mm] \\
[/mm]
[mm] $(|x_1| [/mm] + [mm] |x_2| [/mm] = [mm] |y_1| [/mm] + [mm] |y_2|) \land (|y_1| [/mm] + [mm] |y_2| [/mm] = [mm] |z_1| [/mm] + [mm] |z_2|) \rightarrow |x_1| [/mm] + [mm] |x_2| [/mm] = [mm] |z_1| [/mm] + [mm] |z_2|$ \\ [/mm] also [mm] $\Big((x_1,x_2) \sim (y_1,y_2)\Big) \land \Big((y_1,y_2) \sim (x_1,x_2)\Big) \rightarrow (x_1,x_2) \sim (z_1,z_2)$
[/mm]
Da diese Eigenschaften zutreffen, ist R eine Äquivalenzrelation.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:21 Mo 11.11.2013 | | Autor: | leduart |
Hallo
Euer Beweis ist richtig, bei reflexiv sollte die zweite Zeile wegbleiben.
Gruss leduart
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