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Ich habe folgende Frage:
Es lassen sich viele Dinge anschaulich erklären:
So.z.b. das Heronverfahren zur iterativen Annäherung an eine Wurzel:
Sei b die Zahl deren Wurzel man bestimmen möchte:
Sei x die Zahl deren Abstand zu sqrt(b) man verkleinern möchte.
Man nehme das arithmetische Mittel aus b und [mm] x^2:
[/mm]
[mm] (b+x^2)/2
[/mm]
und teile dies durch x:
[mm] (b+x^2)/(2*x)
[/mm]
Warum sich hier eine Verbesserung an sqrt(b) ergibt ist (mir)
anschaulich klar, aber gibt es eine ähnliche anschauliche Erklärung für (b*x+b)/(b+x)???
Habe lange darüber nachgedacht aber zu keiner einsichtigen Veranschaulichung gekommen?
Bitte helft mir!!!
Danke
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:41 Mo 09.01.2006 | | Autor: | leduart |
Hallo bob
> Es lassen sich viele Dinge anschaulich erklären:
> So.z.b. das Heronverfahren zur iterativen Annäherung an
> eine Wurzel:
> Sei b die Zahl deren Wurzel man bestimmen möchte:
> Sei x die Zahl deren Abstand zu sqrt(b) man verkleinern
> möchte.
> Man nehme das arithmetische Mittel aus b und [mm]x^2:[/mm]
> [mm](b+x^2)/2[/mm]
> und teile dies durch x:
> [mm](b+x^2)/(2*x)[/mm]
> Warum sich hier eine Verbesserung an sqrt(b) ergibt ist
> (mir)
1. es ist das Newtonverfahren.
2. wenn der Näherungswer x zu groß ist, dann ist b/x zu klein, der Mittelwert aus beiden muss also näher an [mm] \wurzel{b} [/mm] sein
3. Die Funktion [mm]F(x)=(x+b/x)/2=(b+x^2)/(2*x)[/mm] hat als Fixpunkt [mm] \wurzel{b} [/mm] die Ableitung [mm] F'(x)=1/2-b/2x^{2}<1 [/mm] also kontrahierend (für startwert x> [mm] \wurzel{b} [/mm] oder nicht zu klein. bei x= [mm] \wurzel{b} [/mm] ist F'=0 also konvergiert das Verfahren immer schneller.
> anschaulich klar, aber gibt es eine ähnliche anschauliche
> Erklärung für (b*x+b)/(b+x)???
> Habe lange darüber nachgedacht aber zu keiner einsichtigen
> Veranschaulichung gekommen?
So: das neue Verfahren kann ich nur mit dem 3. Weg erklären.
[mm] F(x)=\bruch{ax+b}{a+x} [/mm] hat wieder als Fixpunkt F(x)=x x= [mm] \wurzel{b}
[/mm]
die Ableitung ist [mm] F'(x)=\bruch{a^2-b}{(a+x)^2}
[/mm]
mit a=b ist F'<1 also kontrahiernd, also funktioniert das Verfahren, allerdings nahe am richtigen wert sehr schlecht denn F'( [mm] \wurzel{b})=\bruch{b- \wurzel{b}}{b+ \wurzel{b}}>0. [/mm] man kann dieses Verfahren also verbessern , indem man statt a=b einen wert für a nimmt, der näher an [mm] \wurzel{b}liegt, [/mm] zumindest b/2.
Vorteil des Verfahrens ist, dass es bei jedem Startwert, auch x=0 noch konvergiert, was in der Numerik manchmal nützlich ist.
Sehr anschaulich ist ja nun die Erklärung nicht, aber wieso sollte auch ein so rel. schlecht konv. Verfahren einleuchten?
Gruss leduart
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