Approximation der Binomialvert < Wahrscheinlichkeit < Stochastik < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:35 So 10.10.2010 | | Autor: | Laura_88 |
| Aufgabe | In einer Firma sind flexible Arbeitsplätze eingerichtet. Da immer einige Mitarbeiter auf Außendienst oder krank sind, kann man weniger Arbeitsplätze als Mitarbeiter einrichten.
a) Nehmen Sie an, dass die Wahrscheinlichkeit eines Mitarbeiters, in der Firma anwesend zu sein, p= 80% beträgt. Die Firma hat 380 Mitarbeiter. Wie viele Arbeitsplätze müssen mindestens vorhanden sein, damit an höchstens einem Tag im Jahr zu wenige da sind (runden Sie P auf 4 Stellen) (Approximation der Binomialverteilung durch die Normalverteilung).
b) Die Mitarbeiterzahl steigt auf 400. An durchschnittlich wie vielen Tagen im Jahr kommt es zu einem Engpass an Arbeitsplätzen, wenn die Anzahl der Arbeitsplätze nicht erhöt wird? |
So obwohl ich von dieser Fomel noch nie was gehört habe hab ich einiger maßen einen Durchblick danke eines Forummittglieds
also hier der original Eintrag gleich mit meinen werten:
a)
$ [mm] \mu=n\cdot [/mm] p $ ........= 304
$ [mm] sigma=\sqrt{n \cdot p \cdot (1-p) } [/mm] $ .........= 7,8
Na ja, n=380 und p = 0.80
Dann muss $ sigma > 3 $ sein, damit folgende erschreckende Formel auch "funktioniert"
$ [mm] P(x_1 \leq [/mm] X [mm] \leq x_2) [/mm] = [mm] \underbrace{\sum_{k=x_1}^{x_2} {n \choose k} \cdot p^k\cdot (1-p)^{n-k}}_{\mathrm{BV}} \approx \underbrace{\Phi\left(\frac{x_2+0,5-\mu}{\sigma}\right) -\Phi\left(\frac{x_1-0,5-\mu}{\sigma}\right)}_{\mathrm{NV}}\, [/mm] $
Das einzige, was jetzt noch unbekannt ist, ist $ [mm] x_1 [/mm] $ und $ [mm] x_2. [/mm] $ Und jetzt komme ich immer selbst durcheinander mit der Frage, was ist p.
p = 0.80 hatten wir gesagt.
Bei der Binomialvertielung gilt doch allgemein
ab hier steig ich aus zumindest bei diesem bsp:
$ P(X=k)= {n [mm] \choose [/mm] k} [mm] \cdot p^k\cdot (1-p)^{n-k} [/mm] $
Also 1000 Tannen sind heile, wäre
$ P(X=1000) = {1000 [mm] \choose 1000}\cdot{}p^{1000}\cdot{}0.15^0 [/mm] $
Ich sage das deshalb, weil wenn höchsten 150 kaputt sind, dann sind doch mindestens 850 (von 1000) heile.
Unser $ [mm] x_1 [/mm] $ und $ [mm] x_2 [/mm] $ müssen daher sein
$ [mm] x_1 [/mm] $ = 850 ........... vorallem hier weiß ich dann nicht was ich für x1,2 einsetzen soll
$ [mm] x_2 [/mm] $ =1000
Und jetzt setzt man alles hier ein:
$ [mm] \underbrace{\Phi\left(\frac{x_2+0,5-\mu}{\sigma}\right) -\Phi\left(\frac{x_1-0,5-\mu}{\sigma}\right)}_{\mathrm{NV}}\ [/mm] $
und rechnet aus, dann hat man vielleicht wieder [mm] $\Phi(1) [/mm] $, das kann man dann in der Standardnormalverteilungstabelle nachlesen.
vorallem will ich ja hier die Anzahl der Arbeitsplätze. wie komm ich auf die mit der Formel?
b)
da weiß ich leider nur das sich n auf 400 ändert und p gleich bleibt
also ergibt sich :
$ [mm] \mu=n\cdot [/mm] p $ ........= 320
$ [mm] sigma=\sqrt{n \cdot p \cdot (1-p) } [/mm] $ .........= 8
kann mir jemand da weiterhelfen ?
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> In einer Firma sind flexible Arbeitsplätze eingerichtet.
> Da immer einige Mitarbeiter auf Außendienst oder krank
> sind, kann man weniger Arbeitsplätze als Mitarbeiter
> einrichten.
>
> a) Nehmen Sie an, dass die Wahrscheinlichkeit eines
> Mitarbeiters, in der Firma anwesend zu sein, p= 80%
> beträgt. Die Firma hat 380 Mitarbeiter. Wie viele
> Arbeitsplätze müssen mindestens vorhanden sein, damit an
> höchstens einem Tag im Jahr zu wenige da sind (runden Sie
> P auf 4 Stellen) (Approximation der Binomialverteilung
> durch die Normalverteilung).
>
> b) Die Mitarbeiterzahl steigt auf 400. An durchschnittlich
> wie vielen Tagen im Jahr kommt es zu einem Engpass an
> Arbeitsplätzen, wenn die Anzahl der Arbeitsplätze nicht
> erhöht wird?
Hallo Laura,
ich denke, dass man zur Lösung der Aufgabe a) zuerst eine
hypothetische Anzahl N von Arbeitsplätzen voraussetzen
müsste, die daraus resultierende Wahrscheinlichkeit
(an höchstens einem Tag pro Jahr ein Engpass) mittels N
ausdrücken und dann die resultierende Ungleichung nach N
auflösen sollte.
Erst nach der kompletten Lösung von a) kann man an die
Lösung von b) gehen.
Übrigens sollte man für a) noch wissen, von welcher gesamten
Anzahl Arbeitstage pro Jahr man ausgehen sollte. Firmen mit
365 Arbeitstagen pro Jahr sind nun ja wirklich eine seltene
Ausnahme.
LG Al-Chw.
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