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(Frage) für Interessierte  | | Datum: | 15:42 So 27.11.2005 | | Autor: | alex82 |
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Aufgabe:
Wir haben Schachteln mit Nummern 1,2,...,n. Auf diese werden [mm] r_{n} [/mm] Kugeln gemäß der Bose-Einstein-Statistik verteilt. Mit [mm] X_{i} [/mm] werde die zufällige Anzahl der Kugeln in der i-ten Schachtel bezeichnet.
i) Seinen k [mm] \in [/mm] {1,2,...} und p [mm] \in [/mm] [0, [mm] \infty) [/mm] fest gewählt. Zeige, dass für Folgen [mm] (r_{n})_{n\ge1} [/mm] mit [mm] \bruch{r_{n}}{n} \to [/mm] p (für n [mm] \to \infty) [/mm] die Zufallsgrößen [mm] X_{1},...,X_{k} [/mm] asymptotisch unabhängig und geometrisch verteilt sind mit "Erfolgswahrscheinlichkeit" [mm] \bruch{1}{1 + p} [/mm] , d.h.
P( [mm] X_{1} [/mm] = [mm] x_{1}, [/mm] ... , [mm] X_{k} [/mm] = [mm] x_{k} [/mm] ) [mm] \to [/mm] ( [mm] \bruch{1}{1 + p})^k [/mm] * {( [mm] \bruch{p}{1 + p})^{x_{1}} [/mm] *...* ( [mm] \bruch{p}{1 + p})^{x_{k}}} [/mm] für n [mm] \to \infty [/mm] .
ii) 5000 Teilchen sollen gemäß der Bose-Einstein-Statistik auf 1000 Zustände (Zellen), nummeriert mit 1,2,...,1000, verteilt werden. Berechne (approximativ) die erwartete Nummer des ersten Zustandes, der mindestens ein Teilchen enthält sowie die erwartete Anzahl von teilchen in diesem Zustand.
zur i) habe ich bereits die Wahrscheinlichkeit über die Bose-Einstein-Statistik und relativer Häufigkeit herausgefunden. Ich komme aber nicht zu der angegebenen Endlösung. P( [mm] X_{1} [/mm] = [mm] x_{1} [/mm] ,..., [mm] X_{k} [/mm] = [mm] x_{k} [/mm] ) = [mm] \vektor{(r_{n} - \summe_{i=1}^{k} x_{i}) + n - k - 1 \\ n - (k + 1)}/\vektor{r_{n} + n - 1 \\ r_{n}} [/mm] .
vielleicht hat jemand eine Idee über die Erfolgswahrscheinlichkeit und meiner Formel auf die obige Formel zu kommen.
zur ii)
Bei der ii) habe ich das Problem, das ich den Erwartungwert von oben bilden muss, aber nicht das vorherige habe. Außerdem komme ich zu Thema Erwartungswert in diesem Fall nicht weiter.
Vielleicht kann mir jemand helfen. Danke!
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