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Forum "Diskrete Mathematik" - Anzahl surjektiver Abb
Anzahl surjektiver Abb < Diskrete Mathematik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Anzahl surjektiver Abb: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 23:25 Mi 06.02.2013
Autor: Coup

Aufgabe
Sei X: { 1,2,3,4 } , Y : { a,b,c}

wie viele surjektive und Injektive Abbildungen von X->Y gibt es ?

Hallo,
Injektive Abbildungen gibt es keine da meine Menge X zu groß ist und ich nur auf höchstens ein y aus Y abbilden darf.

Aber surjektiv sind eine ganze Menge Abbildungen oder nicht ?

z.b
f(1)=a
f(2)=b
f(3)=c
f(4)=c
Ist eine surjektive Abbildung
ODER
f(1)=a
f(2)=a
f(3)=a
f(4)=a

Wie kann ich das kombinatorisch so zusammenfassen das ich ein Ergebnis der Möglichkeiten bekomme ohne alles durchzuprobieren ?


lg
Micha

        
Bezug
Anzahl surjektiver Abb: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 23:54 Mi 06.02.2013
Autor: reverend

Hallo Micha,

die Aufgabe scheint Deutungsspielraum zu haben, aber ich bezweifle, dass es einen solchen gibt.

> Sei X: { 1,2,3,4 } , Y : { a,b,c}
>  
> wie viele surjektive und Injektive Abbildungen von X->Y
> gibt es ?
>
>  Injektive Abbildungen gibt es keine da meine Menge X zu
> groß ist und ich nur auf höchstens ein y aus Y abbilden
> darf.

Aha. Du gehst also davon aus, dass es eine Abbildungsvorschrift für jedes Element von X geben muss.
Das sehe ich auch so.
Und dann hast Du Recht.

> Aber surjektiv sind eine ganze Menge Abbildungen oder nicht
> ?
>  
> z.b
>  f(1)=a
>  f(2)=b
>  f(3)=c
>  f(4)=c
>  Ist eine surjektive Abbildung

Ja, wohl wahr.

>  ODER
>  f(1)=a
>  f(2)=a
>  f(3)=a
>  f(4)=a

Hm, nein. Hier stellt sich die Frage, ob die Abbildungsvorschrift auch jedes Element von Y berücksichtigen muss oder nicht.

> Wie kann ich das kombinatorisch so zusammenfassen das ich
> ein Ergebnis der Möglichkeiten bekomme ohne alles
> durchzuprobieren ?

Wenn nicht jedes Element von Y "getroffen" werden muss, ist das einfach. Sei $x=|X|$ und $y=|Y|$, hier also x=4, y=3.

Dann ist die Zahl z der surjektiven Abbildungen einfach [mm] z=y^x. [/mm] Jedes der x Elemente von X kann auf irgendeines der y Elemente von Y abgebildet werden.

Meines Erachtens gesucht sind aber eben nur die Abbildungen, die auch ganz Y "verwenden".
Dann ist die Rechnung eine andere:
Ein Element von Y ist Abbildungsziel zweier Elemente von X.
Welches Element von Y? --> y Möglichkeiten.
Welche Elemente von X? --> [mm] \vektor{x\\2} [/mm] Möglichkeiten.

Dann bleiben im speziellen Fall noch je 2 Elemente von X bzw. von Y, die einander eineindeutig (also bijektiv) zugeordnet werden müssen. Dafür gibt es 2 Möglichkeiten.

Insgesamt sind es dann also [mm] z=3*\vektor{4\\2}*2=36 [/mm] mögliche Abbildungen.

Grüße
reverend


Bezug
                
Bezug
Anzahl surjektiver Abb: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:48 So 10.02.2013
Autor: Coup

Danke dir :)
Sei X: { 1,2,3,4 } , Y : { a,b,c}
Wie viele inj. wären es denn für Y->X injektiv ?

bzw. Sind das Unterschiedliche Abbildungen in meinem Beispiel ?
f(a) = 1
f(b) = 2
f(c) = 3

f(a) = 3
f(b) = 2
f(c) = 1

Wie könnte ich die Anzahl injektiver kombinatorisch berechnen ?

vielen Danke :)

Micha

Bezug
                        
Bezug
Anzahl surjektiver Abb: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:52 So 10.02.2013
Autor: fred97


> Danke dir :)
>  Sei X: { 1,2,3,4 } , Y : { a,b,c}
> Wie viele inj. wären es denn für Y->X injektiv ?
>  
> bzw. Sind das Unterschiedliche Abbildungen in meinem
> Beispiel ?
>  f(a) = 1
>  f(b) = 2
>  f(c) = 3
>  
> f(a) = 3
>  f(b) = 2
>  f(c) = 1
>  
> Wie könnte ich die Anzahl injektiver kombinatorisch
> berechnen ?

Wieviele Permutationen von 1,2,3 gibt es ?

FRED

>  
> vielen Danke :)
>  
> Micha


Bezug
                                
Bezug
Anzahl surjektiver Abb: Permutationen
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 13:12 So 10.02.2013
Autor: kaju35

Hallo Fred

müsste nicht auch noch berücksichtigt werden,
dass Du drei von vier Zahlen auswählst? In anderen
Worten, dass Du [mm] $\binom{4}{3}=4$ [/mm] heranmultiplizierst?

Insgesamt ergibt das eine Anzahl von 24
injektiven Abbildungen.

Gruß
Kai

Bezug
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