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| Aufgabe | | Berechnen Sie die Anzahl der multiplikativen Inversen von [mm] \IZ_{9} [/mm] |
Zunächst macht man ja eine Primfaktorenzerlegung:
9 = [mm] 3^2 [/mm] (=> [mm] p_{1} [/mm] = 3)
Dann angewandt auf die Eulerische [mm] \mu-Funktion (\mu [/mm] ist nicht das richtige Zeichen, bei uns im Skript sieht es aus wie ein geschwungenes p, was ich hier allerdings nicht gefunden habe) ...
[mm] \mu(n) [/mm] = n * [mm] \produkt_{i=1}^{k} (1-1/p_{i})
[/mm]
... ergibt sich [mm] \mu(n) [/mm] = 9 * (1-1/3) = 18/3 = 6
Demnach gibt es also 6 multiplikativ invertierbare Elemente in [mm] \IZ_{9}.
[/mm]
Da ich das erste mal mit dieser Funktion gerechnet habe, wollte ich mein Ergebnis überprüfen ...:
2 * 5 = 10 10/9 = 1 Rest 1
4 * 7 = 28 28/9 = 3 Rest 1
8 * 8 = 64 64/9 = 7 Rest 1
Stelle fest, das sind lediglich 5 verschiedene Elemente. Habe ich jetzt irgendwo etwas falsch gemacht, oder wird vielleicht die 8 2mal in die Menge aufgenommen, da sie zu sich selbst invers ist?
Gruß und Danke
G-Hoernle
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Hi,
> Berechnen Sie die Anzahl der multiplikativen Inversen von
> [mm]\IZ_{9}[/mm]
> Zunächst macht man ja eine Primfaktorenzerlegung:
>
> 9 = [mm]3^2[/mm] (=> [mm]p_{1}[/mm] = 3)
>
> Dann angewandt auf die Eulerische [mm]\mu-Funktion (\mu[/mm] ist
> nicht das richtige Zeichen, bei uns im Skript sieht es aus
> wie ein geschwungenes p, was ich hier allerdings nicht
> gefunden habe) ...
Es handelt sich um die eulersche [mm] \varphi-[/mm] ![[]](/images/popup.gif) Funktion. Der griechische Buchstabe heißt Phi.
>
> [mm]\mu(n)[/mm] = n * [mm]\produkt_{i=1}^{k} (1-1/p_{i})[/mm]
>
> ... ergibt sich [mm]\mu(n)[/mm] = 9 * (1-1/3) = 18/3 = 6
>
> Demnach gibt es also 6 multiplikativ invertierbare Elemente
> in [mm]\IZ_{9}.[/mm]
>
> Da ich das erste mal mit dieser Funktion gerechnet habe,
> wollte ich mein Ergebnis überprüfen ...:
>
> 2 * 5 = 10 10/9 = 1 Rest 1
> 4 * 7 = 28 28/9 = 3 Rest 1
> 8 * 8 = 64 64/9 = 7 Rest 1
>
> Stelle fest, das sind lediglich 5 verschiedene Elemente.
> Habe ich jetzt irgendwo etwas falsch gemacht, oder wird
> vielleicht die 8 2mal in die Menge aufgenommen, da sie zu
> sich selbst invers ist?
Es fehlt noch
[mm] 1*1\equiv 1\mod(9)
[/mm]
Die 1 ist ein weiteres zu sich selbst inverses Element im [mm] \IZ_9
[/mm]
>
> Gruß und Danke
> G-Hoernle
Gruß
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:21 Sa 12.03.2011 | | Autor: | G-Hoernle |
Danke :)
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