Anzahl der positiven Teiler < Zahlentheorie < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | n hat 2 verschiedene Primteiler. [mm] tau(n^2) [/mm] = 81.
Berechne [mm] tau(n^3).
[/mm]
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ich habe zunächst n als primfaktorzerlegung dargestellt und dann benutzt dass [mm] tau(n^2)= (2alpha_1(n) [/mm] + 1) mal [mm] (2alpha_2(n) [/mm] + 1) ist (also als produkt dargestellt). ich hab das dann mit 81 gleich gesetzt und versucht diese formel auf die form für [mm] tau(n^3) [/mm] zu bringen, d.h. auf [mm] (3alpha_1(n) [/mm] + 1) mal [mm] (3alpha_2(n) [/mm] + 1) . Das hat aber irgendwie nicht funktioniert.
ich komme leider mit den mathesymbolen hier nicht klar. ich hoffe man versteht trotzdem was ich meine.... sorry! ach, und tau ist die funktion, die die Anzahl der positiven teiler angibt.
kann mir irgendjemand bei dieser aufgabe weiterhelfen? ein andrer ansatz oder so? vieloen dank schon mal im voraus.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Ohne Beschränkung der Allgemeinheit sei [mm]\alpha_1 \leq \alpha_2[/mm].
[mm]\left( 2 \alpha_1 + 1 \right) \left( 2 \alpha_2 + 1 \right) = 81[/mm]
Die beiden Faktoren sind offenbar mindestens 3. Wegen [mm]81 = 3^4[/mm] kommen daher nur die Zerlegungen [mm]3 \cdot 27[/mm] und [mm]9 \cdot 9[/mm] in Frage.
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ach so, dann kommen für die [mm] \alpha [/mm] also nur in frage:
[mm] \alpha_1 [/mm] = [mm] \alpha_2 [/mm] = 4 oder
[mm] \alpha_1 [/mm] = 1 , [mm] \alpha_2 [/mm] = 13.
das bedeutet, dass gilt: [mm] \tau(n^3) [/mm] = [mm] (3\alpha_1 +1)(3\alpha_2 [/mm] +1) was entweder 13*13 = 169 oder 4*40 = 160 ist.
aber woher weiß ich nun welche lösung die richtige ist? muss ich da noch ins spiel bringen, dass n zwei verschiedene primteiler hat? ich weiß allerdings nicht genau wie?? vielleicht noch ein kleiner tip? danke schon mal!
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:56 Mi 03.09.2008 | | Autor: | statler |
Guten Morgen und ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
> ach so, dann kommen für die [mm]\alpha[/mm] also nur in frage:
> [mm]\alpha_1[/mm] = [mm]\alpha_2[/mm] = 4 oder
> [mm]\alpha_1[/mm] = 1 , [mm]\alpha_2[/mm] = 13.
>
> das bedeutet, dass gilt: [mm]\tau(n^3)[/mm] = [mm](3\alpha_1 +1)(3\alpha_2[/mm]
> +1) was entweder 13*13 = 169 oder 4*40 = 160 ist.
>
> aber woher weiß ich nun welche lösung die richtige ist?
Das kannst du mit den vorliegenden Angaben nicht entscheiden. (Nimm einfach n = [mm] 2^{4}*3^{4} [/mm] und n = [mm] 2^{1}*3^{13}.)
[/mm]
> muss ich da noch ins spiel bringen, dass n zwei
> verschiedene primteiler hat?
Das hast du schon ins Spiel gebracht.
Gruß aus HH-Harburg
Dieter
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