Anzahl d. Ziffern einer Potenz < Zahlentheorie < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | "Dieser Test (ob es sich bei Mersenne-Zahlen, um Primzahlen handle) wurde 1876 von von dem französischen Mathematiker Édouard Lucas entdeckt, und er konnte damit zeigen, dass die Mersenne-Zahl [mm] 2^{127}-1 [/mm] tatsächlich eine Primzahl ist. Diese neununddreißigstellige Primzahl blieb bis zu Beginn des Computerzeitalters die größte bekannte Primzahl." (Quelle: Marcus du Sautoy - Die Musik der Primzahlen, Seite 253, Kapitel: "Das Computerzeitalter: Vom Kopf zum PC") |
Guten Abend!
An dieser Stelle im genannten Buch habe ich nun kurz gestoppt, nicht weil ich mich ärgere, warum ein Verfahren zum lösen dieser Mersenne-Zahlen erwähnt wird, aber nicht genauer erleutert, sondern weil mich primär die Frage quält, ob man überhaupt herausbekommen kann, wieviele Ziffern/Stellen eine Potenz zu einer beliebigen Basis besitzt, ohne das Ergebnis dieser Potenz selbst zu kennen.
Beispielsweise wurde [mm] 2^{127}-1 [/mm] genannt mit der Information, dass diese Zahl 39 Stellen besitzt.
Also schrieb ich erstmal die Ergebnisse aller Potenzen zur Basis 2 auf, um vielleicht ein "Muster" zu erkennen. Vergeblich. Und darüberhinaus wäre dieses "Muster" dann auch leider nur für Potenzen zur Basis 2 gültig.
Nun frage ich mich, gibt es ein Schema, um die Stellenanzahl jeder beliebigen Potenz herauszubekommen?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:15 Do 08.04.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
[mm] 2^{10}=1024\approx 10^3 [/mm] Fehler 2,4$
damit [mm] 2^{130}=(2^{10})^{13} \approx10^{39} [/mm] Fehler ca 2,4*13%
Damit kann man as immer bis auf eine Stelle abschätzen.
Ich glaub nicht, dass man das so schön in nem anderen System kann es seiden man hat eben [mm] p^x\approx 10^y
[/mm]
Gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:42 Do 08.04.2010 | | Autor: | Raute1337 |
Vielen Dank leduart!
Die Umrechnung ins Dezimalsystem ist für Abschätzungen wohl am sinnvollsten.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:32 Do 08.04.2010 | | Autor: | abakus |
Hallo,
die Zahl [mm] 10=10^1 [/mm] besitzt 2 Stellen.
Die Zahl [mm] 100=10^2 [/mm] besitzt 3 Stellen.
Die Zahl [mm] 1000=10^3 [/mm] besitzt 4 Stellen usw.
Die Zahl [mm] 10^n [/mm] ist somit die erste Zahl, die n+1 Stellen hat.
(Das gleiche trifft für alle Zahlen von [mm] 10^n [/mm] bis [mm] 10^{n+1}-1 [/mm] zu.)
Wenn du also wissen willst, wie viele Stellen [mm] 2^{127} [/mm] hat, solltest du den Zehnerlogarithmus davon bilden.
Es gilt lg [mm] 2^{127}=127*lg [/mm] 2 [mm] \approx 127*0,3010\approx [/mm] 38,23.
[mm] 2^{127} [/mm] liegt somit zwischen [mm] 10^{38} [/mm] und [mm] 10^{39} [/mm] und hat also 39 Stellen.
Gruß Abakus
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