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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:17 So 28.10.2007 | | Autor: | eXile |
| Aufgabe | Eine binäre Operation auf eine Menge [mm]S[/mm] ist eine Abbildung
[mm]\begin{aligned}
S \times S & \xrightarrow{ \ast }S \\
(a,b) & \mapsto a \ast b \\
\end{aligned} [/mm]
Sei [mm]S = \{ a,b,c\}[/mm] Wieviele verschiedene binäre Operationen gibt es auf S? Wieviele davon sind kommutativ, wieviele assoziativ? |
Hi,
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Ich habe leider wirklich keine Ahnung, wie man an diese Aufgabe herangeht. Ist mit der Aufgabenstellung gefragt, wieviele Kombinationen es für eine binäre Operation auf S gibt? Dann wäre die Antwort neun, jedoch macht diese Antwort (denke ich) bzgl. der zweiten Frage keinen Sinn. Ich hoffe ihr könnt mir das erklären.
[Aus dem Lineare Algebraforum hier hergeschoben]
Mit freundlichen Grüßen,
eXile.
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> Eine binäre Operation auf eine Menge [mm]S[/mm] ist eine Abbildung
> [mm]\begin{aligned}
S \times S & \xrightarrow{ \ast }S \\
(a,b) & \mapsto a \ast b \\
\end{aligned}[/mm]
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> Sei [mm]S = \{ a,b,c\}[/mm] Wieviele verschiedene binäre Operationen
> gibt es auf S? Wieviele davon sind kommutativ, wieviele
> assoziativ?
> Hi,
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> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
> Ich habe leider wirklich keine Ahnung, wie man an diese
> Aufgabe herangeht. Ist mit der Aufgabenstellung gefragt,
> wieviele Kombinationen es für eine binäre Operation auf S
> gibt?
Was meinst Du mit "Kombinationen für eine binäre Operation"? Es gibt [mm] $|S\times S|=|S|\cdot |S|=|S|^2=3^2=9$ [/mm] verschiedene Argumentpaare für eine binäre Operation auf $S$. Aber die binäre Operation ist ja dadurch noch entschieden nicht festgelegt: sie ordnet ja jedem solchen Paar genau ein Element von $S$ zu. Also ist die gesuchte Gesamtzahl aller binären Operationen auf $S$ gleich:
[mm] [center]$|S^{S\times S}=|S|^{|S\times S|}=|S|^{(|S|^2)}=3^{(3^2)}=3^9$[/center]
[/mm]
> Dann wäre die Antwort neun, jedoch macht diese
> Antwort (denke ich) bzgl. der zweiten Frage keinen Sinn.
> Ich hoffe ihr könnt mir das erklären.
Nun musst Du versuchen, in analoger Weise die kommutativen binären Operationen zu zählen. Dazu musst Du Dir klarmachen, dass eine kommutative binäre Operation bereits durch ihre Werte für nur [mm] $\frac{|S|\cdot(|S|+1)}{2}$ [/mm] (statt für alle [mm] $|S|^2$) [/mm] Argumentpaare festgelegt ist. Deshalb gibt es nur
[mm] [center]$|S|^{\frac{|S|\cdot(|S|+1)}{2}}=3^{\frac{3\cdot 4}{2}}=3^6$[/center]
[/mm]
verschiedene kommutative binäre Operationen auf $S$.
Nun musst Du noch überlegen, wie sich die Assoziativität einer binären Operation auf $S$ auf diese Art von Zählung auswirkt...
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