Anzahl Topologien < Topologie+Geometrie < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:35 Mi 17.11.2010 | | Autor: | valoo |
| Aufgabe | | Bestimmen Sie die Anzahl an Topologien auf eine Menge mit vier Elementen. |
Heyho!
Es gibt auf jeden Fall etwa 16000 Teilmengen der Potenzmenge, die die leere Menge und die ganze Menge beinhalten, wie für eine Topologie gefordert. Natürlich sind das nicht alles Topologien, aber ich kann die doch nicht alle einzeln überprüfen...
Es kursiert das Gerücht, dass es 355 seien... Mmmh?
Gibt es vielleicht eine Formel für die Anzahl an Topologien, die man induktiv beweisen könnte?
Oder wie kann man diese Aufgabe vernünftig angehen?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:26 Mi 17.11.2010 | | Autor: | felixf |
Moin!
> Bestimmen Sie die Anzahl an Topologien auf eine Menge mit
> vier Elementen.
>
> Es gibt auf jeden Fall etwa 16000 Teilmengen der
> Potenzmenge, die die leere Menge und die ganze Menge
> beinhalten, wie für eine Topologie gefordert. Natürlich
> sind das nicht alles Topologien, aber ich kann die doch
> nicht alle einzeln überprüfen...
> Es kursiert das Gerücht, dass es 355 seien... Mmmh?
Die Anzahl kann man ![[]](/images/popup.gif) hier finden.
> Gibt es vielleicht eine Formel für die Anzahl an
> Topologien, die man induktiv beweisen könnte?
>
> Oder wie kann man diese Aufgabe vernünftig angehen?
Ich wuerd das so machen. (Das ist aehnlich wie bei abzaehlbaren [mm] $\sigma$-Algebren, [/mm] falls du es dort schonmal gesehen hast.)
Sei $X$ eine endliche Menge und [mm] $\tau$ [/mm] eine Topologie auf $X$. Damit ist [mm] $\tau$ [/mm] auch eine endliche Menge.
Zu $x [mm] \in [/mm] X$ sei [mm] $U_{\tau,x}$ [/mm] der Schnitt aller Mengen aus [mm] $\tau$, [/mm] die $x$ enthalten. Da [mm] $\tau$ [/mm] endlich ist ist dies ein endlicher Schnitt, womit [mm] $U_{\tau,x} \in \tau$ [/mm] ist.
Weiterhin gilt: $U [mm] \subseteq [/mm] X$ ist genau dann in [mm] $\tau$, [/mm] wenn [mm] $\forall [/mm] x [mm] \in [/mm] U : [mm] U_{\tau,x} \subseteq [/mm] U$ gilt.
(Man kann sich die [mm] $U_{\tau,x}$ [/mm] sozusagen als [mm] $\varepsilon$-Baelle [/mm] mit unendlich kleinem Radius vorstellen.)
Um [mm] $\tau$ [/mm] zu beschreiben, reicht es also aus die [mm] $U_{\tau,x}$ [/mm] zu kennen, da [mm] $\tau [/mm] = [mm] \{ \bigcup_{x \in I} U_x \mid I \subseteq X \}$ [/mm] ist.
Jetzt muss man sich ueberlegen, was fuer Bedingungen eine Familie von Mengen [mm] $U_x \subseteq [/mm] X$ fuer $x [mm] \in [/mm] X$ erfuellen muss, damit es eine Topologie [mm] $\tau$ [/mm] auf $X$ gibt mit [mm] $U_{\tau,x} [/mm] = [mm] U_x$ [/mm] fuer alle $x$.
(a) Klarerweise muss $x [mm] \in U_x$ [/mm] gelten.
(b) Ist $x [mm] \in U_y$, [/mm] so muss [mm] $U_x \subseteq U_y$ [/mm] gelten.
Reicht das jetzt schon aus? Ich denke schon, das sollte sich schnell zeigen lassen. Man setzt [mm] $\tau [/mm] := [mm] \{ \bigcup_{x \in I} U_x \mid I \subseteq X \}$. [/mm] Aus (a) und der Definition von [mm] $\tau$ [/mm] folgt, dass [mm] $\tau$ [/mm] eine Topologie ist. Und mit (b) sollte sich zeigen lassen, dass [mm] $U_{\tau,x} [/mm] = [mm] U_x$ [/mm] ist.
Als naechstes muss man sich ueberlegen, wann zwei solche Mengensysteme [mm] $(U_x)_{x \in X}$ [/mm] und [mm] $(V_x)_{x \in X}$ [/mm] dieselbe Topologie [mm] $\tau$ [/mm] definieren. Was klar ist: ist [mm] $U_x [/mm] = [mm] U_y$, [/mm] so ist dies der Fall. Andererseits ist [mm] $U_x [/mm] = [mm] U_{\tau,x} [/mm] = [mm] V_x$ [/mm] beide Systeme die Topologie [mm] $\tau$ [/mm] bestimmen.
Fazit: du musst die Anzahl der Mengensysteme [mm] $(U_x)_{x \in X}$ [/mm] zaehlen mit $x [mm] \in U_x$ [/mm] und [mm] $\forall [/mm] x,y : x [mm] \in U_y \Rightarrow U_x \subseteq U_y$.
[/mm]
Die grosse Frage ist jetzt: wie macht man das moeglichst einfach?
(Es gibt uebrigens bei $|X| = 4$ jeweils [mm] $2^3 [/mm] = 8$ Moeglichkeiten, [mm] $U_x$ [/mm] unter der Bedingung $x [mm] \in U_x$ [/mm] zu waehlen. Damit gibt es [mm] $(2^3)^4 [/mm] = [mm] 2^{12} [/mm] = 4096$ verschiedene Mengensysteme, die man auf die zweite Bedingung pruefen muss. Das sind schonmal wesentlich weniger als der Grossteil der Teilmengen der Potenzmenge...)
Zu so einem Mengensystem [mm] $(U_x)_{x\in X}$ [/mm] kann man jetzt eine Relation [mm] $\le$ [/mm] auf $X$ definieren durch $x [mm] \le [/mm] y [mm] :\Leftrightarrow U_x \subseteq U_y$. [/mm] Diese ist offensichtlich reflexiv und transitiv.
Sei nun umgekehrt [mm] $\le$ [/mm] eine reflexive und transitive Relation auf $X$. Zu $x [mm] \in [/mm] X$ setze [mm] $U_{\le,x} [/mm] := [mm] \{ y \mid x \le y \}$. [/mm] Dann gilt $x [mm] \in U_{\le,x}$, [/mm] und falls $y [mm] \in U_{\le,x}$ [/mm] und $z [mm] \in U_{\le,y}$ [/mm] so folgt $z [mm] \in U_{\le,x}$, [/mm] also [mm] $U_{\le,y} \subseteq U_{\le,x}$. [/mm] Also bilden die [mm] $(U_{\le,x})_x$ [/mm] genau so ein Mengensystem wie oben! Weiterhin ist die Zuordnung von reflexiven und transitiven Relationen zu solchen Mengensystemen bijektiv.
Man kann also auch die reflexiven und transitiven Relationen auf $X$ zaehlen, um an die Anzahl der Topologien zu gelangen. Macht das das ganze jetzt einfacher?
Reflexive Relationen zaehlen ist ja recht einfach, transitive zu zaehlen jedoch nicht ganz so. Kannst ja mal etwas darueber nachdenken, eventuell kommst du damit weiter :)
LG Felix
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