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| Aufgabe | | Auf wie viele verschiedene Arten kann man ein Schaufenster mit zwei roten, drei goldenen und fünf grünen Weihnachtskugeln dekorieren, wenn die Kugeln in einer Reihe ausgelegt werden sollen? |
Hallo!
Ich würde mich über eure Korrekturen an meiner gleich präsentierten Lösung freuen.
Es handelt sich um 10 Kugeln. Ich beginne mit den roten Kugeln, die sich praktisch aus der Menge [mm] \{1,...,10\} [/mm] ihre Position herausgreifen sollen. Dazu gibt es (bei Nichtbeachtung der Reihenfolge) [mm] \vektor{10\\2} [/mm] Möglichkeiten. Nun haben die restlichen Kugeln noch 8 Positionen zum Auswählen. Als nächstes lasse ich die goldenen Kugeln ihre Positionen auswählen, da haben sie noch [mm] \vektor{8\\3} [/mm] Möglichkeiten. Die Positionen der grünen Kugeln sind dann festgelegt.
Ich komme also auf [mm] $\vektor{10\\2}*\vektor{8\\3} [/mm] = 2520$ Möglichkeiten.
Meine Fragen:
1. Ist das Ergebnis richtig?
2. Gibt es noch eine "schnellere" Variante? Bei dem Arbeitsblatt, auf welchem die Aufgabe steht, musste man bisher immer nur eine der Formeln [mm] \vektor{n\\k}, \vektor{n+k-1\\k}, [/mm] n!, ... etc. anwenden und war dann fertig. Gibt es auch hier einen Ansatz, mit dem man mit nur einer Formel zum Ziel kommt?
Danke für Eure Hilfe,
Stefan.
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> Auf wie viele verschiedene Arten kann man ein Schaufenster
> mit zwei roten, drei goldenen und fünf grünen
> Weihnachtskugeln dekorieren, wenn die Kugeln in einer Reihe
> ausgelegt werden sollen?
> Hallo!
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> Ich würde mich über eure Korrekturen an meiner gleich
> präsentierten Lösung freuen.
>
> Es handelt sich um 10 Kugeln. Ich beginne mit den roten
> Kugeln, die sich praktisch aus der Menge [mm]\{1,...,10\}[/mm] ihre
> Position herausgreifen sollen. Dazu gibt es (bei
> Nichtbeachtung der Reihenfolge) [mm]\vektor{10\\2}[/mm]
> Möglichkeiten. Nun haben die restlichen Kugeln noch 8
> Positionen zum Auswählen. Als nächstes lasse ich die
> goldenen Kugeln ihre Positionen auswählen, da haben sie
> noch [mm]\vektor{8\\3}[/mm] Möglichkeiten. Die Positionen der grünen
> Kugeln sind dann festgelegt.
> Ich komme also auf [mm]\vektor{10\\2}*\vektor{8\\3} = 2520[/mm]
> Möglichkeiten.
> Meine Fragen:
>
> 1. Ist das Ergebnis richtig?
> 2. Gibt es noch eine "schnellere" Variante? Bei dem
> Arbeitsblatt, auf welchem die Aufgabe steht, musste man
> bisher immer nur eine der Formeln [mm]\vektor{n\\k}, \vektor{n+k-1\\k},[/mm]
> n!, ... etc. anwenden und war dann fertig. Gibt es auch
> hier einen Ansatz, mit dem man mit nur einer Formel zum
> Ziel kommt?
>
> Danke für Eure Hilfe,
>
> Stefan.
Hallo Stefan,
dein Ergebnis 2520 ist richtig.
kommt dir die Frage
"Wieviele Wörter (egal ob sinnvoll oder nicht) kann man
aus den Buchstaben M,I,S,S,I,S,S,I,P,P,I bilden ?"
irgendwie bekannt vor ? Sie ist zu deiner Aufgabe analog.
Es geht um Permutationen mit Wiederholungen.
Die Anzahl berechnet man so:
[mm] \overline{P}_{11=1+4+4+2}=\bruch{11!}{1!\,4!\,4!\,2!}
[/mm]
In deinem Beispiel also:
[mm] \overline{P}_{10=2+3+5}=\bruch{10!}{2!\,3!\,5!}
[/mm]
Gruß
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Hallo Al-Chwarizmi,
danke für die Antwort und für das Zusatzwissen 
Grüße, Stefan
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