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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:30 So 23.05.2004 | | Autor: | Christa |
Ich bin halbwegs am Verzweifeln. anwendungsaufgaben...igittt!!!
Also folgende Aufgabe:
Ein Anfangskapital [mm]K_0[/mm] von 10000 sei mit dem Zinssatz 5% langfristig angelegt.
a) Wie groß ist das Kapital [mm]K_1[/mm] (Anfangskapital zuzüglich Zinsen) nach einem Jahr?
b) Beweise: Nach n Jahren beträgt das Kapital einschließlich Zinsen [mm]K_n=K_0*1,05^n[/mm].
So zu a) hab' ich mir schon diese Gedanken hier gemacht:
Zum einen haben wir in der Schule gesagt, dass Zerfallsprozesse mit der Funktion beschrieben werden: [mm]N(t)=N(0)*e^{-kt}[/mm]. Da das hier aber kein Zerfallsprozess ist habe ich mir zuerst gedacht, dass dann die Funktion so aussehen müsste: [mm]N(t)=N(0)*e^{kt}[/mm]. ICh hab' die Werte eingesetzt:
[mm]N(t)=10000*e^{0,05*t}[/mm]
Da kam dann aber heraus, dass nach einem Jahr: [mm]N(1)=10512,71[/mm] () "entstanden" sind. Aber dass kann ja nicht wirklich stimmen. Denn wenn ich mir das so überlege, dann würde ich ja eigentlich die 10000 mal die 5% rechnen und das Ergebnis (500) zu dem Anfangskapital hinzuaddieren und 10500 bekommen.
Dann hab' ich mir überlegt das als Funktion zu beschreiben, den Schritt den ich so einfach aus Logik grad gemacht habe. Da hatte ich dann: [mm]N(t)=N_0+N_0*0,05[/mm]. Nur das Problem dabei ist, dass da die Abhängigkeit zur Zeit t fehlt.
Ja und nu sind mir die Ideen ausgegangen. Und bei der b) weiß ich och nicht so recht weiter. HILFE!!!
Liebe Grüße
Christa
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:03 So 23.05.2004 | | Autor: | Marc |
Hallo Christa,
> Ein Anfangskapital [mm]K_0[/mm] von 10000 sei mit dem Zinssatz 5%
> langfristig angelegt.
>
> a) Wie groß ist das Kapital [mm]K_1[/mm] (Anfangskapital zuzüglich
> Zinsen) nach einem Jahr?
> b) Beweise: Nach n Jahren beträgt das Kapital
> einschließlich Zinsen [mm]K_n=K_0*1,05^n[/mm].
>
> So zu a) hab' ich mir schon diese Gedanken hier gemacht:
>
> Zum einen haben wir in der Schule gesagt, dass
> Zerfallsprozesse mit der Funktion beschrieben werden:
> [mm]N(t)=N(0)*e^{-kt}[/mm]. Da das hier aber kein Zerfallsprozess
> ist habe ich mir zuerst gedacht, dass dann die Funktion so
> aussehen müsste: [mm]N(t)=N(0)*e^{kt}[/mm]. ICh hab' die Werte
> eingesetzt:
Das stimmt soweit auch.
> [mm]N(t)=10000*e^{0,05*t}[/mm]
Da hast du dir es ein wenig zu einfach gemacht, du hast ja einfach k=0,05 eingesetzt.
Stattdessen mußt du dieses k aber erst bestimmen, und zwar aus diesem Zusammenhang:
N(0)=10000
N(1)=10000+500=10500 (das hast du ja unten auch selbst ausgerechnet)
Es gilt nun folgende Gleichung für t=1:
[mm] N(1)=N(0)*e^{k*1}
[/mm]
[mm] $\gdw\ 10500=10000*e^{k*1}$
[/mm]
Diese Gleichung kann nun nach k aufgelöst werden.
(Für Aufgabenteil b) bietet es sich an, für k keine Dezimalzahl anzugeben, sondern ggfs. einen mathematischen Ausdruck.)
>
> Da kam dann aber heraus, dass nach einem Jahr:
> [mm]N(1)=10512,71[/mm] () "entstanden" sind. Aber dass kann ja
> nicht wirklich stimmen. Denn wenn ich mir das so überlege,
> dann würde ich ja eigentlich die 10000 mal die 5% rechnen
> und das Ergebnis (500) zu dem Anfangskapital hinzuaddieren
> und 10500 bekommen.
>
> Dann hab' ich mir überlegt das als Funktion zu beschreiben,
> den Schritt den ich so einfach aus Logik grad gemacht habe.
> Da hatte ich dann: [mm]N(t)=N_0+N_0*0,05[/mm]. Nur das Problem dabei
> ist, dass da die Abhängigkeit zur Zeit t fehlt.
Das ist auch nicht schlecht, damit bekommst du [mm] $N(\red{1})=N_0+N_0*0,05$ [/mm] raus, was du ja oben auch benötigt hattest.
> Ja und nu sind mir die Ideen ausgegangen. Und bei der b)
> weiß ich och nicht so recht weiter. HILFE!!!
Die b) dürfte recht einfach sein, mit diesem Tipp:
[mm] $e^{b*\ln a}=a^b$
[/mm]
Mal sehen, ob es dich auf die richtige "Fährte" gesetzt hat.
Viele Grüße,
Marc
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:42 So 23.05.2004 | | Autor: | Christa |
Ach so, ich verstehe!!!
also ist dann k:
[mm]10500=10000*e^{k1}[/mm]
[mm]\bruch{10500}{10000}=e^k[/mm]
[mm]ln(1,05)=k[/mm]
([mm]k\approx 0,048[/mm])
b) ist dann ja och nicht so schwer (Ich glaub mir geht grad ne Glühbirne auf)
[mm]N(t)=N_0*e^{kt}[/mm]
[mm]N(n)=N_0*e^{kn}[/mm]
[mm]N(n)=N_0*e^{ln(1,05)n}[/mm]
und da gilt:
[mm]e^{ln(1,05)n}= (e^{ln(1,05)})^n=1,05^n[/mm]
[mm]N(n)=N_0*1,05^n[/mm]
Jetzt nur noch anstatt N K setzten und ich habe:
[mm]K(n)=K_0*1,05^n[/mm]
Liebe Grüße
Christa
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