Anwendungen der Kombinatorik < Stochastik < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 09:37 Mi 23.03.2005 | | Autor: | cloooned |
Guten Tag
ich bin hier neu eingetrudelt und habe da eine eher tribiale Frage auf dem Herzen, falls ich also weiter ins Detail gehen soll bitte melden.
Ich schreibe demnächst eine Arbeit über Kombinatorik, Permutation und was da alles dazugehört. Die Theorie an sich ist mir eigentlich verständlich, allerdings habe ich das Problem, dass ich bei den Satzaufgaben selten weiss wie ich die Aufgabe anpacken soll, welche Formel verwendet werden muss, ob nun die Reihenfolge eine Rolle spielt, etc. Ich habe hier an die 50 Übungsaufgaben bei denen ich generell sehr lange überlegen muss bis ich den richtigen Ansatz finde und so wie ich unsern Prof kenne wird es wieder eine reine Hetzjagd da dieser in kurzer Zeit recht viel verlangt und langsame Schüler meist den kürzeren ziehen.
Ist es möglich mir eine Art Starthilfe zu geben, bzw. kann man mir sagen worauf zuerst geachtet werden sollte oder welche Fragen ich mir stellen muss?
MfG & Thx
PS: Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo cloooned!
Erstmal: ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
Sehe ich das richtig, dass ihr in der 11. Klasse schon Kombinatorik macht? Falls es dich tröstet: bei uns haben das einige Grundkurse nicht mal in der 12 oder 13 gemacht, und die meisten, die ich kenne, die es gemacht haben, haben damit Probleme... Allerdings hilft dir das wohl nicht wirklich bei den Aufgaben. 
Eine Nachhilfeschülerin von mir hat ein paar Sachen einfach auswendig gelernt - so Sachen wie "wenn es mit zurücklegen ist, dann brauche ich die und die Formel", "wenn es so ist, dann brauche ich die und die Formel" usw.. Ich gehe da mittlerweile eher mit etwas Verstand dran, aber das muss man wohl lernen, das konnte ich vor ein paar Jahren auch noch nicht. Ich glaube, bei vielen Aufgaben ist ein Baumdiagramm sehr hilfreich - da ist man dann erstmal beschäftigt, der Lehrer sieht nachher, das man sich schon Gedanken drüber gemacht hat, auch wenn man vielleicht kein (korrektes) Ergebnis erhalten hat, und wenn man so ein Diagramm vor sich hat, kommt man oft auch weiter.
Viel mehr fällt mir da allerdings im Moment nicht zu ein - ich würde sagen: üben, üben üben.
Wenn du so viele Aufgaben hast, sind sicher viele von denen sehr ähnlich, und du müsstest durch üben eigentlich bald merken, wann du was anwenden musst. Du kannst hier aber gerne ein paar Aufgaben (aber nicht alle auf einmal) posten und deinen Lösungsvorschlag dazu, oder sagen, wo genau du ein Problem hast. Vielleicht kommen wir so der Sache ja näher.
Viele Grüße
Bastiane
![[winken]](/images/smileys/winken.gif "[winken]")
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:25 Mi 23.03.2005 | | Autor: | cloooned |
Danke für die nette Begrüssung und schnelle Antwort.
Um die erste Frage schnell zu erklären, ich komme aus der Schweiz und gehe in die 12. Klasse (trotz reichlich Auswahl bei der Registrierung konnte ich diese Option nicht wählen ^^) und wir behandeln wohl etwas anderen Stoff.
Nun meine Tischnachbarin die hat auch den Dreh in dem Stil raus, die kann sich diese Lösungsabfolgen direkt merken bzw. dann direkt aus der Aufgabe lesen und hinke dann immer bisschen hinterher ;).
Nun um mal konkret zu werden habe ich hier zwei von vielen Fällen die mich gerade beschäftigen und für die ich einfach keinen Ansatz finde die zu lösen:
1. Auf einem Tennisplatz erscheinen 5 Herren 7 Damen. Wieviele Speilpaarungen sind möglich, bei denen zwei Damen gegen zwei Herren antreten.
2. Wie viele Möglichkeiten gibt es, 36 Karten eines Kartenspiels auf 4 Spieler A,B,C und D zu verteilen?
Soweit ich das verstanden habe sind das wohl eher einfache Aufgaben die ohne weiteres zu lösen wären, aber mir fehlt einfach die Vorstellung in Bezug auf die Formeln mit den Angaben was anfangen zu können.
MfG & Thx
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:27 Mi 23.03.2005 | | Autor: | Bastiane |
Hallo nochmal!
Also, du kannst diese Aufgaben hier ruhig als Fragen stellen, ansonsten werden sie leicht übersehen, und ich bin nicht gerade der Stochastik Freak, dass ich dir das alles problemlos beantworten kann. Aber ich gebe jetzt erstmal mein Bestes:
> Um die erste Frage schnell zu erklären, ich komme aus der
> Schweiz und gehe in die 12. Klasse (trotz reichlich Auswahl
> bei der Registrierung konnte ich diese Option nicht wählen
> ^^) und wir behandeln wohl etwas anderen Stoff.
Okay, das sollten wir mal unserem Webmaster sagen. Vielleicht fügen wir einfach eine Spalte "Sonstiges" ein, wo man selber was eingeben kann...
> 1. Auf einem Tennisplatz erscheinen 5 Herren 7 Damen.
> Wieviele Speilpaarungen sind möglich, bei denen zwei Damen
> gegen zwei Herren antreten.
Ohne jetzt eine Lösung zu kenne, würde ich an die Aufgabe folgendermaßen dran gehen:
ich teile die Aufgabe in zwei Teile:
1. Teil:
a) wie viele Möglichkeiten gibt es, dass je zwei Damen zusammen spielen, nennen wir die Anzahl mal x
b) wie viele Möglichkeiten gibt es, dass je zwei Herren zusammen spielen, nennen wir die Anzahl mal y
2. Teil:
wie viele Möglichkeiten gibt es, dass ein "Paar" aus x mit einem "Paar" aus y zusammen spielt.
Ich hoffe, das ist verständlich, wie ich das meine, aber ich versuch's auch mal auszurechnen:
1. a):
Das dürfte wohl mit dem Binomialkoeffizieten zu berechnen sein, also [mm] \vektor{7 \\ 2}=\bruch{7!}{2!(7-2)!}=\bruch{7!}{2!5!}=\bruch{6*7}{2}=21
[/mm]
b) geht genauso:
[mm] \vektor{5 \\ 2}=\bruch{5!}{2!(5-2)!}=\bruch{5!}{2!3!}=\bruch{4*5}{2}=10
[/mm]
2.:
Nun haben wir zwei Mengen, die eine mit 21, die andere mit 10 Elementen, und wir wollen wissen, wie viele Möglichkeiten es gibt, jeweils ein Element aus der einen mit einem aus der anderen Menge zu "verknüpfen".
Wenn man sich das langsam überlegt, dann hat man für das erste Element von den 21 genau 10 Möglichkeiten, ihm ein Element aus der anderen Menge zuzuordnen. Für das zweite ebenfalls 10, für das dritte auch usw.. Also für jedes Element von den 21 gibt es 10 Möglichkeiten, ihm eins zuzuordnen, demnach müssten es dann insgesamt 21*10=210 Möglichkeiten geben.
Das wäre meiner Meinung nach die Antwort auf die Aufgabe - hast du zufällig eine Lösung um zu gucken, ob das richtig ist?
Leider kann ich dir keine allgemeine Methode nenne, wie man immer an solche Aufgaben rangeht. Aber vielleicht hilft dir ja solch eine Beschreibung, wie ich sie gerade gemacht habe. Verstehst du das denn so? Ansonsten frage bitte nach.
So, ich bin jetzt erstmal Mittagessen - vielleicht schaffe ich danach noch die zweite Aufgabe, ansonsten vielleicht heute nachmittag oder erst morgen.
Viele Grüße
Bastiane
![[cap]](/images/smileys/cap.gif "[cap]")
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Hallo!
Zu den Beispielfragen in deiner Mitteilung:
5 Herren, 7 Damen.
Dabei kann wohl keiner doppelt spielen in einer Paarung, daher ist das wohl so eine Art "Ziehen ohne Zurücklegen".
Dann würd ich sagen: Ladies first, suchen wir uns also erstmal zwei Damen raus.
Um 2 Damen (ohne daß eine doppelt vorkäme) aus 7 auszuwählen, gibt es [mm] $\vektor{7 \\ 2}=21$ [/mm] Möglichkeiten.
Hierbei kommt es nicht auf die Reihenfolge an, d.h. wenn wir zwei Damen A und B hätten, würden die Paarungen AB und BA als eine einzige gezählt.
Das kann man sich an der Formel folgendermaßen merken, denn es gilt ja:
[mm] $\vektor{7 \\ 7}=1$, [/mm] das heißt, es gibt (logischerweise) nur eine Möglichkeit, alle 7 auszuwählen, würden wir allerdings auf die Reihenfolge achten, gäbe es natürlich wesentlich mehr Möglichkeiten.
Bei den Herren gibt es ganz analog dazu [mm] $\vektor{5 \\ 2}=10$ [/mm] Möglichkeiten.
Wenn ich mich nicht verrechnet habe, gibt es also insgesamt [mm] $\vektor{7 \\ 2}*\vektor{5 \\ 2}=21*10=210$ [/mm] Möglichkeiten für Spiele zweier Damen gegen zwei Herren.
Bei der Sache mit den Karten ist es sogar noch einfacher.
Gehen wir das einfach mal umgekehrt an.
Für jede einzelne Karte gibt es 4 Möglichkeiten, welchem Spieler sie zugeordnet werden kann. Macht also, wenn wir die Karten der Reihe nach zuordnen, [mm] $4^{36}$(=ziemlich [/mm] viel) Möglichkeiten.
Achtung: hierbei ist nicht gesagt, daß jeder gleichviel Karten bekommt; es ist durchaus möglich, daß z.B. A alle bekommt!
Ich hoffe, ein paar beispielhafte Ansätze bringen dich etwas weiter,
Gruß,
Christian
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:36 Mi 23.03.2005 | | Autor: | cloooned |
danke, das erste Beispiel leuchtet mir nun ein!
Was das 2. Beispiel betrifft habe mir diesen Gedanken auch schon gemacht, allerdings ist es Sinn der Aufgabe, dass eben alle gleich viel bekommen und da bin ich dann hängen geblieben
MfG & Thx
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:52 Do 24.03.2005 | | Autor: | Bastiane |
Hallo!
Okay, ich versuche mich nun auch mal an der zweiten Aufgabe...
Wenn 36 auf vier Leute verteilt werden und jeder gleich viele Karten bekommen soll, dann bekommt jeder 9 Karten. Frage ist also nun noch, wie viele Möglichkeiten es gibt, 9 Karten aus 36 auszuwählen. Das machen wir wieder mit dem Binomialkoeffizienten:
[mm] \vektor{36 \\ 9}=\bruch{36!}{9!(36-9)!}=94143280
[/mm]
Allerdings weiß ich im Moment leider irgendwie nicht weiter, weil es ja für jede Möglichkeit, dass eine Person genau diese 9 Karten bekommt, auch noch für jede andere Person unterschiedliche Möglichkeiten gibt, 9 Karten zu bekommen... Und zuletzt müsste noch geklärt werden, ob es wichtig ist, ob nun Person A diese 9 Karten hat, Person B diese usw. oder ob man einfach sagt, es gibt soundso viele Möglichkeiten 4 mal 9 Karten aus 36 auszuwählen und es ist egal, wer jetzt welchen Stapel hat.
Viele Grüße
Bastiane
![[banane]](/images/smileys/banane.gif "[banane]")
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:18 Sa 26.03.2005 | | Autor: | cloooned |
Hallo again!
Ich habe nun weiter Aufgaben gelöst und bin da auf etwas gestossen, das mich verwirrt und zwar sehe ich den Unterschied nicht wirklich.
Ich habe für die beiden Aufgaben Frage und Lösungsweg, allerdings ist mir nicht klar warum es da verschiedene Lösungswege gibt.
1. Auf wieviele Arten lassen sich 20 SChüler in 4er Gruppen aufteilen?
Lösung:
[mm] \vektor{20 \\ 4} \vektor{16 \\ 4} \vektor{12 \\ 4} \vektor{8 \\ 4} [/mm] / 4!
2. Jemand möchte 10 Tafeln Schokolade kaufen, wobei er drei Sorten zur Auswahl hat. Auf wieviele Arten ist dies möglich?
Lösung:
[mm] x_{1}+ x_{2}+ x_{3}=10
[/mm]
12!/10!*2! = 66
Warum kann für die zweite Aufgabe nicht dasselbe System wie in Aufgabe 1 angewendet werden und weshalb ist in Aufgabe 1 [mm] \vektor{20 \\ 4} [/mm] nicht ausreichend?
MfG & Thx
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Hi, clooned,
> Ich habe für die beiden Aufgaben Frage und Lösungsweg,
> allerdings ist mir nicht klar warum es da verschiedene
> Lösungswege gibt.
>
> 1. Auf wieviele Arten lassen sich 20 SChüler in 4er Gruppen
> aufteilen?
>
> Lösung:
> [mm]\vektor{20 \\ 4} \vektor{16 \\ 4} \vektor{12 \\ 4} \vektor{8 \\ 4}[/mm]
> / 4!
>
> 2. Jemand möchte 10 Tafeln Schokolade kaufen, wobei er drei
> Sorten zur Auswahl hat. Auf wieviele Arten ist dies
> möglich?
>
> Lösung:
> [mm]x_{1}+ x_{2}+ x_{3}=10[/mm]
>
> 12!/10!*2! = 66
>
> Warum kann für die zweite Aufgabe nicht dasselbe System wie
> in Aufgabe 1 angewendet werden und weshalb ist in Aufgabe 1
> [mm]\vektor{20 \\ 4}[/mm] nicht ausreichend?
>
Also: Aus der Lösung der 2. Aufgabe werd' ich im Moment auch noch nicht schlau. Ich überleg' mal etwas länger, vielleicht komm' ich doch noch drauf.
Bei der ersten Aufgabe würde DEINE Lösung lediglich die Frage klären: Auf wieviele Arten kann ich EINE Vierergruppe aus 20 Personen bilden. Es sollen aber alle 20 Schüler in Vierergruppen eingeteilt werden! Und da man bei der Methode (erst 4 aus 20; dann 4 aus den verbliebenen 16; 4 aus den 12 usw.) jedesmal 5 Vierergruppen kriegt, aber wenn man sich am Ende alle Möglichkeiten betrachtet, dass dieselben 5 Viergruppen (nur in anderer Reihenfolge "gezogen") auf 4! Arten herauskommen können, muss man noch durch 4! dividieren.
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