Anwendung des Skalarprodukts < Skalarprodukte < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | Zeigen Sie mit Hilfe der Eigenschaften des Skalarprodukts, dass in einem beliebigen euklidischen Vektorraum gilt:
Ein Dreieck ist genau dann gleichseitig, wenn zwei der drei Winkel zwischen zwei Seiten 60 Grad betragen. |
Hallo zusammen,
also die Aussage oben ist mir natürlich klar. Wenn zwei Winkel eines Dreiecks 60 Grad betragen, muss der dritte Winkel natürlich ebenso 60 Grad groß sein. Aber wie ich das mit Hilfe des Skalarprodukts und der Winkelformel am Besten zeige, ist mir nicht wirklich klar.
Ich hoffe jemand von euch hat eine Idee, wie ich vorgehen könnte.
Danke bereits im Voraus,
Gruß Michael
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:06 So 14.12.2008 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
Im Dreieck lege den Winkel [mm] \alpha [/mm] an die Ecke A, [mm] \beta [/mm] an B und [mm] \gamma [/mm] an C. Dann gilt: [mm] \alpha=\beta=\gamma=60°
[/mm]
![[]](/images/popup.gif) Ausserdem gilt: [mm] \cos(60°)=\bruch{1}{2}
[/mm]
Damit ergeben sich Drei Bedingungen, nämlich:
[mm] \bruch{1}{2}=\bruch{\overrightarrow{AB}*\overrightarrow{AC}}{|\overrightarrow{AB}|*|\overrightarrow{AC}|}
[/mm]
[mm] \bruch{1}{2}=\bruch{\overrightarrow{BC}*\overrightarrow{BA}}{|\overrightarrow{BC}|*|\overrightarrow{BA}|}
[/mm]
[mm] \bruch{1}{2}=\bruch{\overrightarrow{CA}*\overrightarrow{CB}}{|\overrightarrow{CA}|*|\overrightarrow{CB}|}
[/mm]
Jetzt zeige mal, dass das nur gilt, wenn [mm] |\overrightarrow{AB}|=|\overrightarrow{BC}|=|\overrightarrow{CA}| [/mm]
Marius
|
|
|
| |
|
Hi,
Vielen Dank schonmal für deine Hilfe.
Jetzt hab ich nur noch eine Frage zur Winkelformel.
Wir haben sie so definiert:
cos("Winkel"(u,v)) = [mm] \bruch{}{|u||v|}.
[/mm]
Gilt immer <u,v> = u*v ?
Weil du die Winkelformel so anwendest...
Wir haben bis jetzt noch nicht wirklich viel zu diesem Thema gemacht...
Vielen Dank,
Michael
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:28 So 14.12.2008 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
Mit [mm] \vec{a}*\vec{b} [/mm] meine ich das Skalarprodukt [mm] <\vec{a};\vec{b}> [/mm] das hätte ich vielleicht dazuschreiben sollen.
Marius
|
|
|
| |
|
Hey Marius,
vielen Dank nochmal für deine Hilfe.
Ich hab jetzt wirklich lang rumprobiert, aber bin immer noch nicht wirklich weiter gekommen. ich steh da wahrscheinlich grad irgendwie aufm schlauch...
Könntest du mir vielleicht nochmal weiterhelfen?
Gruß Michael
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:28 So 14.12.2008 | | Autor: | weduwe |
warum denn einfach, wenn´s auch kompliziert geht 
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:20 Di 16.12.2008 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:10 So 14.12.2008 | | Autor: | weduwe |
du kannst dich auf die von A, B und C aufgespannte ebene beschränken.
nimm A(0/0) und B(1/0) und zeige mit dem skalarprodukt, dass C die koordinaten [mm] C(\frac{1}{2}/\pm\frac{\sqrt{3}}{2}) [/mm] hat, wenn die winkel bei A und B 60° betragen.
und dann machst du noch "das umgekehrte"
|
|
|
| |
|
Hallo,
entschuldige, ich hatte nicht gesehen, dass noch ein Beitrag gepostet wurde.
Danke auch für deine Hilfe.
Aber ich hätte noch eine Frage:
Ist deine Lösung nicht nur ein Spezialfall?
Ich muss ja den allgemeinen Fall berachten...
Gruß Michael
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:20 So 14.12.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
Wenn dir das speziell aussieht nimm statt (1,0) (a,0), spätestens dann ist es allgemein.
Gruss leduart.
|
|
|
| |
|
Vielen Dank an euch alle,
es funktioniert jetzt.
Gruß Michael
|
|
|
|
