Anwendung des Mittelwertsatz < Differentiation < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:45 Di 22.01.2008 | | Autor: | HoOrst |
| Aufgabe | Beweisen Sie:
(i) Ist f: [a,b] -> R differenzierbar mit |f'(x)| > 0, so existiert lim x->0 f(x) stets und ist unendlich
(ii) Ist f(0) = 0 und f'(x) <= [mm] \lambda [/mm] => 0 und alle x [a,b], so gilt f(x) <= a für alle x [a,b[ |
Kann mir dabei jemand helfen? Stehe leider total auf dem Schlauch und weiß nur, dass ich das mit dem Mittelwertsatz lösen soll....
Grüße HoOrst
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> Beweisen Sie:
> (i) Ist f: [0,1] -> R differenzierbar mit |f'(x)| < 1, so
> existiert lim x->0 f(x) stets und ist endlich
> (ii) Ist f(0) = 0 und f'(x) <= [mm]\lambda[/mm] > 0 und alle x
> [0,1], so gilt f(x) <= 0 für alle x ]0,1[
> Kann mir dabei jemand helfen? Stehe leider total auf dem
> Schlauch und weiß nur, dass ich das mit dem Mittelwertsatz
> lösen soll....
Zu (i): Nach dem Mittelwertsatz der Differentialrechnung gibt es zu jedem [mm] $x\in [/mm] ]0;1[$ ein [mm] $\xi \in [/mm] ]0;x[$, so dass gilt:
[mm]|f(x)-f(0)|=|f'(\xi)|\cdot |x-0| < |x|[/mm]
Wobei sich das letzte Ungleichheitszeichen aus der Voraussetzung [mm] $f'(\xi)<1$ [/mm] für alle [mm] $\xi\in [/mm] ]0;1[$ ergibt. Daraus folgt, dass
[mm]\lim_{x\rightarrow 0+}|f(x)-f(0)|\leq\lim_{x\rightarrow 0+}|x|=0[/mm]
Also ist [mm] $\lim_{x\rightarrow 0+}f(x)=f(0)$.
[/mm]
Zu (ii): Hier habe ich das Gefühl, dass die Aufgabenstellung entweder Müll ist oder von Dir nicht richtig wiedergegeben ist. Betrachte etwa die Funktion [mm] $f:[0;1]\ni x\mapsto x^2\in \IR$. [/mm] Diese Funktion erfüllt die Bedingungen $f(0)=0$ und [mm] $f'(x)=2x\leq [/mm] 2>0$ für alle [mm] $x\in [/mm] [0;1]$. Aber es ist $f(0.5)=0.25>0$ im Widerspruch zur Behauptung, die wir angeblich sollten beweisen können...
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 11:42 Mi 23.01.2008 | | Autor: | HoOrst |
| Aufgabe | (i) Ist f: ]a,b] -> R differenzierbar mit |f'(0)| >= 1 für alle x ]0,b], so existiert lim x->0 f(x) stets und ist unendlich
(ii) Ist f(a) > 0 und f'(x) <= [mm] \lambda [/mm] * f(x) für ein festes [mm] \lambda [/mm] > 0 und alle x [a,b], so gilt f(0) = 1 für ein x ]0,1[ |
In der Aufgabenstellung hat sich der Fehlerteufel eingeschlichen...
Habs jetzt nochmal abgetippt
Bei Aufgabe (i) war das Intervall falsch und bei (ii) ist etwas untergegangen.
Srry
Gruß HoOrst
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> (i) Ist f: ]0,1] -> R differenzierbar mit |f'(x)| < 1 für
> alle x ]0,1], so existiert lim x->0 f(x) stets und ist
> endlich
> (ii) Ist f(0) = 0 und f'(x) <= [mm]\lambda[/mm] * f(x) für ein
> festes [mm]\lambda[/mm] > 0 und alle x [0,1], so gilt f(x) <= 0
> für alle x ]0,1[
> In der Aufgabenstellung hat sich der Fehlerteufel
> eingeschlichen...
> Habs jetzt nochmal abgetippt
> Bei Aufgabe (i) war das Intervall falsch und bei (ii) ist
> etwas untergegangen.
Zu (i): Ist [mm] $(x_n)_{n\in \IN}$ [/mm] eine Folge positiver Zahlen mit [mm] $\lim_{n\rightarrow \infty}x_n=0$, [/mm] so können wir vermutlich zeigen, dass die Folge [mm] $(f(x_n))_{n\in \IN}$ [/mm] der Bilder unter $f$ eine Cauchy-Folge ist, so dass zumindest der Limes [mm] $\lim_{n\rightarrow \infty} f(x_n)$ [/mm] existiert.
Wird uns nämlich ein beliebig kleines [mm] $\varepsilon>0$ [/mm] vorgelegt, so können wir, wegen [mm] $x_n\rightarrow [/mm] 0+$ (für [mm] $n\rightarrow \infty$) [/mm] ein [mm] $n_0$ [/mm] finden, so dass für alle [mm] $n\geq n_0$ [/mm] gilt, dass [mm] $0
[mm]\begin{array}{lcl}
|f(x_m)-f(x_n)|&=&\big|\big(f(x_m)-f(x_{n_0}\big)+\big(f(x_{n_0}}-f(x_n)\big)\big|\\
&\leq& |f(x_m)-f(x_{n_0})|+|f(x_{n_0})-f(x_n)|\\
&\leq&|x_m-x_{n_0}|+|x_{n_0}-x_n|\\
&<& 2\cdot \frac{\varepsilon}{2}= \varepsilon\end{array}[/mm]
Falls Dich diese Überlegung überzeugt, musst Du nur noch kurz darüber nachdenken, ob der Limes der Folge [mm] $f(x_n)$ [/mm] überhaupt von der speziellen Wahl einer "Testfolge" [mm] $x_n\rightarrow [/mm] 0+$ abhängig ist oder nicht. - Falls nicht, haben wir die Behauptung bewiesen: [mm] $\lim_{x\rightarrow 0+}f(x)$ [/mm] existiert.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:20 Fr 25.01.2008 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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