Anwendung Zentraler Grenzwerts < Wahrscheinlichkeitstheorie < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:05 Fr 25.06.2010 | | Autor: | kegel53 |
| Aufgabe | Ein Gerät enthält ein elektronisches Element, das für die Arbeit des Geräts erforderlich ist. Fällt das Element aus, so wird es
sofort durch ein gleichwertiges Reserveelement ersetzt. Die erwartete Lebensdauer des elektronischen Elements betrage [mm] \mu=100 [/mm] Stunden,
die Standardabweichung der Lebensdauer sei [mm] \sigma=60 [/mm] Stunden.
Bestimmen Sie mit Hilfe des Zentralen Grenzwertsatzes näherungsweise die minimale Anzahl der Reserveelemente,
die erforderlich ist, um mit Wahrscheinlichkeit 0,95 die ununterbrochene Arbeit des Gerätes für 8000 Stunden zu garantieren. |
Hey Leute,
also ich hab mir das folgendermaßen gedacht.
Sei [mm] (X_i)_{i\in{\IN}} [/mm] i.i.d., wobei [mm] X_1:=\text{"Lebensdauer eines elektronischen Elementes in Stunden}, [/mm] sei weiter [mm] S_n:=\sum_{i=1}^{n} X_i.
[/mm]
Dann ist [mm] E[X_1]=\mu=100 [/mm] und [mm] \sigma=60.
[/mm]
Mit dem Zentralen Grenzwertsatz gilt dann:
[mm] P[S_n\le{8000}]=P\left[S_n^{\ast}\le{\bruch{8000-n\cdot{100}}{\wurzel{n}\cdot{60}}}\right]\approx{\Phi\left(\bruch{8000-n\cdot{100}}{\wurzel{n}\cdot{60}}\right)}=0,95
[/mm]
Damit gilt: [mm] \bruch{8000-n\cdot{100}}{\wurzel{n}\cdot{60}}=1,645\Rightarrow{n=78,87}
[/mm]
Es werden also mindestens 78 elektronische Elemente benötigt.
Stimmt das so? Oder wo hab ich noch Fehler?
Mich macht dieses "minimal" noch etwas stutzig und bei [mm] P[S_n\le{8000}] [/mm] bin ich auch nicht ganz sicher, ob das richtig ist, weiß aber auch nicht wie ich die Garantie der 8000 Stunden anders umsetzen soll.
Wär also toll, wenn jemand helfen könnt. Besten Dank schon mal.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:32 Fr 25.06.2010 | | Autor: | gfm |
> Ein Gerät enthält ein elektronisches Element, das für
> die Arbeit des Geräts erforderlich ist. Fällt das Element
> aus, so wird es
> sofort durch ein gleichwertiges Reserveelement ersetzt.
> Die erwartete Lebensdauer des elektronischen Elements
> betrage [mm]\mu=100[/mm] Stunden,
> die Standardabweichung der Lebensdauer sei [mm]\sigma=60[/mm]
> Stunden.
>
> Bestimmen Sie mit Hilfe des Zentralen Grenzwertsatzes
> näherungsweise die minimale Anzahl der Reserveelemente,
> die erforderlich ist, um mit Wahrscheinlichkeit 0,95 die
> ununterbrochene Arbeit des Gerätes für 8000 Stunden zu
> garantieren.
> Hey Leute,
> also ich hab mir das folgendermaßen gedacht.
>
> Sei [mm](X_i)_{i\in{\IN}}[/mm] i.i.d., wobei [mm]X_1:=\text{"Lebensdauer eines elektronischen Elementes in Stunden},[/mm]
> sei weiter [mm]S_n:=\sum_{i=1}^{n} X_i.[/mm]
> Dann ist
> [mm]E[X_1]=\mu=100[/mm] und [mm]\sigma=60.[/mm]
> Mit dem Zentralen Grenzwertsatz gilt dann:
>
> [mm]P[S_n\le{8000}]=P\left[S_n^{\ast}\le{\bruch{8000-n\cdot{100}}{\wurzel{n}\cdot{60}}}\right]\approx{\Phi\left(\bruch{8000-n\cdot{100}}{\wurzel{n}\cdot{60}}\right)}=0,95[/mm]
>
> Damit gilt:
> [mm]\bruch{8000-n\cdot{100}}{\wurzel{n}\cdot{60}}=1,645\Rightarrow{n=78,87}[/mm]
>
> Es werden also mindestens 78 elektronische Elemente
> benötigt.
>
> Stimmt das so? Oder wo hab ich noch Fehler?
> Mich macht dieses "minimal" noch etwas stutzig und bei
> [mm]P[S_n\le{8000}][/mm] bin ich auch nicht ganz sicher, ob das
> richtig ist, weiß aber auch nicht wie ich die Garantie der
> 8000 Stunden anders umsetzen soll.
>
Man soll n so angeben, dass die Wahrscheinlichkeit, dass das Gerät mehr als T:=8000 Stunden läuft, größer als [mm] 1-\alpha:=95% [/mm] ist. In diesem Sinne würde ich das "minimal" interpretieren, da die Garantie auch eingehalten wird, wenn die Wahrscheinlichkeit größer ist. Oder auch anders: Wie groß muss das n sein, damit der Value at [mm]\alpha[/mm]-Risk kleiner als T ist: [mm] P(\{S_n>T\})\ge1-\alpha [/mm] oder [mm] P(\{S_n\le T\})\le\alpha. [/mm] Mit [mm] S_n=:n\mu+\sigma\wurzel{n}Z_n [/mm] wird daraus [mm] P(\{n\mu+\sigma\wurzel{n}Z_n\le T\})\le\alpha [/mm] oder [mm] P(\{Z_n\le\frac{T-n\mu}{\sigma\wurzel{n}}\})\le\alpha [/mm] und damit [mm] \Phi(\frac{T-n\mu}{\sigma\wurzel{n}})\le\alpha [/mm] oder [mm] \frac{T-n\mu}{\sigma\wurzel{n}}\le\Phi^{-1}(\alpha). [/mm] Daraus folgt [mm] n\ge\left(-\frac{\sigma\Phi^{-1}(\alpha)}{2\mu}+\wurzel{\left(\frac{\sigma\Phi^{-1}(\alpha)}{2\mu}\right)^2+\frac{T}{\mu}}\right)^2.
[/mm]
LG
gfm
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:53 So 27.06.2010 | | Autor: | kegel53 |
Jepp das sieht echt um einiges besser aus, als ich das zuvor hatte.
Vielen Dank dafür!!
Nur zur Bestätigung, man braucht dann [mm] n\ge{773} [/mm] elektronische Elemente, um die 8000 Stunden zu garantieren, passt das??
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:32 So 27.06.2010 | | Autor: | gfm |
> Jepp das sieht echt um einiges besser aus, als ich das
> zuvor hatte.
> Vielen Dank dafür!!
>
> Nur zur Bestätigung, man braucht dann [mm]n\ge{773}[/mm]
> elektronische Elemente, um die 8000 Stunden zu garantieren,
> passt das??
σ 60
μ 100
α 0,05
T 8000
Φ^(-1)(α) -1,644853627
σΦ^(-1)(α)/(2μ) -0,493456088
T/μ 80
n 89,32763232
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:45 So 27.06.2010 | | Autor: | kegel53 |
Hoppla, da war dann doch was erheblich falsch.
Naja mir kam das n schon etwas sehr groß vor :). Herzlichen Dank!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:39 So 27.06.2010 | | Autor: | gfm |
> Hoppla, da war dann doch was erheblich falsch.
> Naja mir kam das n schon etwas sehr groß vor :).
> Herzlichen Dank!
Ein Value at 5%-Risk liegt bei einer Normalverteilung ungefährt um das 1,645-fache der Standardabweichung unter dem Mittelwert.
LG
gfm
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