Anwendung Satz von Helly? < Funktionalanalysis < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:36 Mi 08.12.2010 | | Autor: | DerGraf |
| Aufgabe | | Sei X ein normierter Raum über [mm] \IK, n\in\IN [/mm] und [mm] \{x_{1},...,x_{n}\}\in [/mm] X ein linear unabhängiges System. Man zeige, dass es zu vorgegebenen [mm] \alpha_{1},...,\alpha_{n}\in\IK [/mm] ein [mm] Funktionalx'\in [/mm] X' gibt mit [mm] x'(x_{i})=\alpha_{i} (1\le i\le [/mm] n). |
Hallo,
nach Satz von Helly ist [mm] x'(x_i)=\alpha_{i} [/mm] für alle i=1,...,n äquivalent zu [mm] \exists M\ge0 [/mm] mit:
[mm] |\sum_{i=1}^{n}\lambda_{i}\alpha_{i}|\le M\|\sum_{i=1}^{n}\lambda_{i}x_{i}\|.
[/mm]
Kann ich bei mir die Existenz dieser Konstanten M voraussetzen um den Satz anzuwenden? Wenn nicht, wie zeige ich die Existenz von M?
Ich bin jede Hilfe dankbar
Gruß
DerGraf
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:45 Mi 08.12.2010 | | Autor: | pelzig |
Geht das nicht einfach mit dem Fortsetzungssatz von Hahn-Banach? Du betrachtest den Untervektorraum [mm]U:=\operatorname{span}\{x_1,...,x_n\}[/mm]. Dann definierst du eine lineare Abbildung [mm]\tilde{x}'[/mm] auf [mm]U[/mm] durch [mm]\tilde{x}'(x_i):=\alpha_i[/mm]. Da [mm]U[/mm] endlich-dimensional ist, ist [mm]\tilde{x}'\in U'[/mm] und nach Hahn-Banach gibt es eine stetige Fortsetzung [mm]x'\in X'[/mm], insbesondere ist [mm]x'(x_i)=x'|_U(x_i)=\tilde{x}'(x_i)=\alpha_i[/mm].
Gruß, Robert
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:16 Mi 08.12.2010 | | Autor: | DerGraf |
Vielen Dank für deine Antwort. Die Idee gefällt mir ganz gut. Muss ich mir eine entsprechende Abbildung x' erst zusammenbasteln oder kann ich einfach sagen: Sei x' eine Abbildung von U nach [mm] \IR [/mm] mit den Eigenschaften:
x' linear und
[mm] x'(x_i)=\alpha_i?
[/mm]
Falls ich sie erst kreieren muss: Wie gehe ich hier am besten vor?
Gruß
DerGraf
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 23:51 Mi 08.12.2010 | | Autor: | pelzig |
In einem Buch stünde da vielleicht, dass das trivial sei, aber wenn es dir nicht klar ist dann musst du diese Abbildung konstruieren.
Gruß, Robert
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:14 Fr 10.12.2010 | | Autor: | DerGraf |
Vielen Dank euch beiden für eure Antworten :)
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:41 Sa 11.12.2010 | | Autor: | pelzig |
Bitte, haben wir gern gemacht...
|
|
|
|
