Anwendung: Satz von Fubini < Integration < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:01 Fr 05.03.2010 | | Autor: | haploid |
Hallo!
Kann man bei der Berechnung folgendes Integrals den Satz von Fubini anwenden?
[mm] \integral_{0}^{1} \integral_{x}^{1}{x*e^{y^3} dy} dx} [/mm]
(Als Tipp ist bei der Aufgabe nämlich angemerkt, dass man dies tun solle.)
Darf man den Satz nicht nur bei konstanten Grenzen anwenden?
Viele Grüße und Danke für Antworten.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:02 Fr 05.03.2010 | | Autor: | uliweil |
Hallo haploid,
die Antwort ist ein klares Jein.
Der Fubini gilt (bei korrekt hingeschriebenen Mehrfachintegralen) bzgl. des "von innen nach aussen Integrieren" auch für nicht konstante Grenzen, aber der Zusatz über das Vertauschen der Integrale (Integrationsreihenfolge) gilt nur bei konstanten Grenzen. )
(Siehe http://mo.mathematik.uni-stuttgart.de/inhalt/aussage/aussage651/)
Bin mal gepannt auf das Ergebnis des Integrals.
Gruß
Uli
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:51 Fr 05.03.2010 | | Autor: | haploid |
Hm, OK, und wie kann man dann das Integral lösen?
Auf das Ergebnis wär ich nämlich auch gespannt ;)
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:08 Sa 06.03.2010 | | Autor: | SEcki |
> Kann man bei der Berechnung folgendes Integrals den Satz
> von Fubini anwenden?
Ja.
> [mm]\integral_{0}^{1} \integral_{x}^{1}{x*e^{y^3} dy} dx}[/mm]
>
> (Als Tipp ist bei der Aufgabe nämlich angemerkt, dass man
> dies tun solle.)
> Darf man den Satz nicht nur bei konstanten Grenzen
> anwenden?
Mit Trick 17 nicht - die variable Grenze kann man durch eine Indikatorfunktion überflüssig machen, dh [mm]\integral_{0}^{1} \integral_{x}^{1}{x*e^{y^3} dy} dx}=\integral_{0}^{1} \integral_{0}^{1}{x*1_{[x,1]}(y)e^{y^3} dy} dx}[/mm]. (Die Funktion ist beschränkt und messbar, also int.bar). Das heißt also du musst [m]\int_0^1 x*1_{[x,1]}(y) dx[/m] für festes y lösen. Nun [m]1_{[x,1]}(y)=1[/m] genau so lange, so lange [m]x\le y[/m] gilt, dh das Integral wird zu [m]\int_0^1 x*1_{[x,1]}(y) dx=\int_0^y x dx= y^2/2[/m]. Dann löst du [m]\int_0^1y^2/2*e^{y^3} dy=[e^{y^3}/6]^1_0[/m].
SEcki
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