Anwenden der Substitution < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:03 Mo 18.06.2018 | | Autor: | Dom_89 |
| Aufgabe | Bestimme mit Hilfe einer geeigneten Substitution die allgemeine Lösung der Differentialgleichungen
y'(x) = [mm] \bruch{y(x)}{x}+\bruch{x}{y(x)} [/mm] |
Hallo,
hier mein Vorgehen:
y'(x) = [mm] \bruch{y(x)}{x}+\bruch{x}{y(x)} \gdw \bruch{dy}{dx} [/mm] = [mm] \bruch{y}{x}+\bruch{x}{y} [/mm]
Substituiere [mm] u=\bruch{y}{x} [/mm] dann folgt:
g(u) = u + [mm] \bruch{1}{u}
[/mm]
u' = [mm] \bruch{g(u)-u}{x} [/mm] = [mm] \bruch{u+\bruch{1}{u}-u}{x} [/mm] = [mm] \bruch{\bruch{1}{u}}{x} [/mm] = [mm] \bruch{1}{ux}
[/mm]
[mm] \bruch{du}{dx} [/mm] = [mm] \bruch{1}{ux} \Rightarrow \integral [/mm] u du = [mm] \integral \bruch{1}{x} [/mm] dx
Integrale gelöst ergibt:
[mm] \bruch{u^{2}}{2} [/mm] = ln(x)+C [mm] |*2|\wurzel
[/mm]
u(x) = [mm] \wurzel{2ln(x)+2C}
[/mm]
"" An dieser Stelle sagt die Lösung aber u(x) = [mm] \wurzel{2ln(x)+C} [/mm] - warum wird mein C nich mit 2 multipliziert? ""
Rücksubstituieren liefert:
y(x) = u(x)*x = [mm] x\wurzel{2ln(x)+2C}
[/mm]
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Hallo,
> Bestimme mit Hilfe einer geeigneten Substitution die
> allgemeine Lösung der Differentialgleichungen
>
> y'(x) = [mm]\bruch{y(x)}{x}+\bruch{x}{y(x)}[/mm]
> Hallo,
>
> hier mein Vorgehen:
>
> y'(x) = [mm]\bruch{y(x)}{x}+\bruch{x}{y(x)} \gdw \bruch{dy}{dx}[/mm]
> = [mm]\bruch{y}{x}+\bruch{x}{y}[/mm]
>
> Substituiere [mm]u=\bruch{y}{x}[/mm] dann folgt:
>
> g(u) = u + [mm]\bruch{1}{u}[/mm]
>
> u' = [mm]\bruch{g(u)-u}{x}[/mm] = [mm]\bruch{u+\bruch{1}{u}-u}{x}[/mm] =
> [mm]\bruch{\bruch{1}{u}}{x}[/mm] = [mm]\bruch{1}{ux}[/mm]
>
> [mm]\bruch{du}{dx}[/mm] = [mm]\bruch{1}{ux} \Rightarrow \integral[/mm] u du =
> [mm]\integral \bruch{1}{x}[/mm] dx
>
> Integrale gelöst ergibt:
>
> [mm]\bruch{u^{2}}{2}[/mm] = ln(x)+C [mm]|*2|\wurzel[/mm]
> u(x) = [mm]\wurzel{2ln(x)+2C}[/mm]
>
> "" An dieser Stelle sagt die Lösung aber u(x) =
> [mm]\wurzel{2ln(x)+C}[/mm] - warum wird mein C nich mit 2
> multipliziert? ""
Hm, das sind hier alles Dinge, die hatten wir schon desöfteren. 
1): Es ist
[mm] \int{ \frac{1}{x} dx}=ln|x|+C[/mm]
Das machst du hartnäckigst falsch!
2) (zu deiner Frage):
Es wurde bei der Anfertigung der Musterlösung zunächst mit einer anderen Konstante, etwa c gerechnet und dann
C=2c
gesetzt.
>
> Rücksubstituieren liefert:
>
> y(x) = u(x)*x = [mm]x\wurzel{2ln(x)+2C}[/mm]
Bis auf die falschen Klammern bei der Logarithmusfunktion stimmt das.
Gruß, Diophant
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:17 Di 19.06.2018 | | Autor: | Dom_89 |
Vielen Dank für die Hilfe!
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