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Forum "Gewöhnliche Differentialgleichungen" - Ansetzen bei Differentialgl
Ansetzen bei Differentialgl < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Ansetzen bei Differentialgl: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:42 Sa 26.02.2011
Autor: kushkush

Aufgabe
Sei [mm] $\alpha [/mm] > 0$ fest gewählt. Die Entwickung einer Population sei beschrieben durch die Differentialgleichung:

[mm] $y'=\alpha y-y^{2} [/mm] \ [mm] (y\ge [/mm] 0)$

Dabei stehe $y(t)$ für die Grösse der Population zum Zeitpunkt t. Bestimmen Sie die Lösung der Differentialgleichung zur Anfangsbedingung [mm] $y(0)=y_{0}>0$. [/mm] (Tipp: Unterscheiden Sie die drei Fälle [mm] $y_{0}<\alpha$, $y_{0}=\alpha$ [/mm] und [mm] $y_{0}> \alpha$). [/mm]
Zeigen Sie, dass in jedem Fall für die Lösungsfunktion [mm] $\phi$ [/mm] gilt [mm] $\limes_{t\rightarrow \infty} \phi(t)=\alpha$. [/mm]

Hallo,

[mm] $\frac{1}{\alpha y -y^{2}}dy=1dx$ [/mm]

danach mit Partialbruchzerlegung weiter und nach x auflösen, ist dieser Ansatz überhaupt richtig?


Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt.


Danke und Gruss

kushkush

        
Bezug
Ansetzen bei Differentialgl: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:56 Sa 26.02.2011
Autor: MathePower

Hallo kushkush,

> Sei [mm]\alpha > 0[/mm] fest gewählt. Die Entwickung einer
> Population sei beschrieben durch die Differentialgleichung:
>
> [mm]y'=\alpha y-y^{2} \ (y\ge 0)[/mm]
>  
> Dabei stehe [mm]y(t)[/mm] für die Grösse der Population zum
> Zeitpunkt t. Bestimmen Sie die Lösung der
> Differentialgleichung zur Anfangsbedingung [mm]y(0)=y_{0}>0[/mm].
> (Tipp: Unterscheiden Sie die drei Fälle [mm]y_{0}<\alpha[/mm],
> [mm]y_{0}=\alpha[/mm] und [mm]y_{0}> \alpha[/mm]).
>  Zeigen Sie, dass in jedem
> Fall für die Lösungsfunktion [mm]\phi[/mm] gilt
> [mm]\limes_{t\rightarrow \infty} \phi(t)=\alpha[/mm].
>  Hallo,
>  
> [mm]\frac{1}{\alpha y -y^{2}}dy=1dx[/mm]
>  
> danach mit Partialbruchzerlegung weiter und nach x
> auflösen, ist dieser Ansatz überhaupt richtig?
>


Der Ansatz ist richtig.


>
> Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt.
>  
>
> Danke und Gruss
>  
> kushkush


Gruss
MathePower

Bezug
                
Bezug
Ansetzen bei Differentialgl: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:08 So 27.02.2011
Autor: kushkush

Hallo Mathepower,


> Der Ansatz ist richtig.


Ich komme mit Partialbruchzerlegung auf:

[mm] $\frac{-log(y-\alpha)+log(y)}{\alpha}=x+C$ [/mm]

[mm] $\Rightarrow y=(y-\alpha)e^{\alpha (x+C)}$ [/mm]

Wie kriege ich das nach y umgestellt? War meine PBZ etwa falsch??

>Gruss

Danke

Gruss

kushkush


Bezug
                        
Bezug
Ansetzen bei Differentialgl: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:12 So 27.02.2011
Autor: fred97


> Hallo Mathepower,
>  
>
> > Der Ansatz ist richtig.
>
>
> Ich komme mit Partialbruchzerlegung auf:
>  
> [mm]\frac{-log(y-\alpha)+log(y)}{\alpha}=x+C[/mm]
>  
> [mm]\Rightarrow y=(y-\alpha)e^{\alpha (x+C)}[/mm]
>  
> Wie kriege ich das nach y umgestellt?



log(a)-log(b)= log(a/b)


>  War meine PBZ etwa
> falsch??

Nein

FRED

>  
> >Gruss
>
> Danke
>  
> Gruss
>  
> kushkush
>  


Bezug
                                
Bezug
Ansetzen bei Differentialgl: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:39 So 27.02.2011
Autor: kushkush


> Nein

OK,

> log(a)-log(b)= log(a/b)

[mm] $b:=\alpha [/mm] (x+C)$

[mm] $\Rightarrow log(y)=log(ye^{b})-log(\alpha e^{b})$ [/mm]

[mm] $\Rightarrow log(y)=b\frac{log(y)}{log(\alpha})$ [/mm]

Dann krieg ich ja irgendwas mit 1=... und das y ist weg?


> FRED

Danke


Gruss

kushkush

Bezug
                                        
Bezug
Ansetzen bei Differentialgl: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:05 So 27.02.2011
Autor: leduart

Hallo
$  [mm] y=(y-\alpha)e^{\alpha (x+C)} [/mm] $
[mm] (y-a)/y=Ce^{-ax} [/mm]
1-a/y=  usw.
gruss leduart


Bezug
                                                
Bezug
Ansetzen bei Differentialgl: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:40 So 27.02.2011
Autor: kushkush

Hallo,

[mm] $1-\frac{a}{y}=Ce^{-ax}$ [/mm]

[mm] $\Rightarrow \frac{1}{y}=\frac{-Ce^{-ax}+1}{a}$ [/mm]

[mm] $\Rightarrow y=\frac{a}{-Ce^{-ax}+1}$ [/mm]

Richtig? Das mit den Grenzwert=a für x gegen unendlich stimmt ja...


> Gruss

Danke


Gruss

kushkush

Bezug
                                                        
Bezug
Ansetzen bei Differentialgl: richtig umgestellt
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:22 So 27.02.2011
Autor: Loddar

Hallo!


Du hast richtig umgestellt. [ok]


Gruß
Loddar


Bezug
                                                                
Bezug
Ansetzen bei Differentialgl: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 15:29 So 27.02.2011
Autor: kushkush

Hallo Loddar,

< Daumenhoch

Danke!!


Gruss

kushkush

Bezug
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