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| Aufgabe | | Wieviele Möglichkeiten gibt es, [mm]2n[/mm] [mm](n\in\IN)[/mm] paarweise verschieden große Personen derart in 2 Reihen anzuordnen, dass die Person in der ersten Reihe jeweils kleiner ist als die dahinter stehende Person in der zweiten Reihe? |
Hallo zusammen,
ich habe wenig bis gar keine Ahnung von Stochastik und habe mir heuristisch folgendes überlegt:
Da die Personen paarweise verschieden groß sind, wähle ich fortlaufend 2-elementige Teilmengen zunächst aus der Ausgangsmenge von [mm]2n[/mm] Personen, dann aus der Menge der nach der ersten Ziehung verbliebenen [mm]2n-2[/mm] Personen usw. bis zur Menge aus 4 und letztlich aus 2 Personen.
Dazu habe ich jeweils [mm]\vektor{2n\\
2},\vektor{2n-2\\
2},\ldots,\vektor{4\\
2},\vektor{2\\
2}[/mm] Möglichkeiten.
Nun sind in der ersten Reihe n Plätze, ich kann also das erste gezogene Pärchen auf n Plätze aufteilen.
Für das nächste Pärchen bleiben [mm]n-1[/mm] Plätze usw. bis zum letzten Pärchen, dessen Platz dann eind. ist.
Kombiniert hätte ich als:
[mm]\vektor{2n\\
2}\cdot{}n \ \cdot{} \ \vektor{2n-2\\
2}\cdot{}(n-1) \ \cdot{} \ \ldots \ \cdot{}\vektor{4\\
2}\cdot{}2 \ \cdot{} \ \vektor{2\\
2}\cdot{}1[/mm] Möglichkeiten.
Wenn ich mir das mal alles ausschreibe, entsprechend kürze usw. komme ich auf [mm]\frac{(2n)!}{2^n}[/mm] Möglichkeiten, was der "Probe" bis [mm]n=2[/mm], also den Möglichkeiten, 4 Personen entsprechend der Aufgabenstellung zu positionieren, entspricht.
Nun die Frage: stimmen meine krausen Gedanken dazu?
Und weiter: gibt es nicht einen einfacheren Weg?
Ich hatte überlegt, dass man die [mm]2n[/mm] Personen ja durch Permutation auf [mm](2n)![/mm] Weisen auf die zur Verfügung stehenden Plätze stellen kann, mir fällt aber keine gescheite Herangehensweise ein, die "ungünstigen" Positionierungen herauszufiltern, kann demzufolge auch keine Formel dafür finden.
Gruß
schachuzipus
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Huhu schachuzipus,
deine Lösung ist richtig, und da du nach nem schnelleren Weg gefragt hast, hier mal mein Vorschlag:
Man sucht sich erst alle Möglichkeiten aus, die 2n Personen anzuordnen, das wären (2n)!
Nun teilt man diese Anordnung nach n Personen und hat nun eine vordere und eine hintere Reihe.
Für jede Position beinhalten die (2n)! Möglichkeiten nun auch die, wo der grössere vorne steht, d.h. zu jeder Position gibt es ja 2 Möglichkeiten, nämlich "groß - klein" und "klein - groß".
Da wir nun aber von diesen 2 Möglichkeiten nur eine haben wollen, müssen wir für jede Position die Anzahl an Möglichkeiten durch 2 teilen.... bleiben also
[mm] \bruch{(2n)!}{2^n} [/mm] Möglichkeiten.
MFG,
Gono.
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Hallo Gono und besten Dank!
Ich schau's mir nachher mal an!
Liebe Grüße
schachuzipus
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:17 Fr 15.10.2010 | | Autor: | Karl_Pech |
Hallo Gono,
Ich hätte anders argumentiert. Man hat also [mm] $2n\!$ [/mm] Personen. Diese teilt man in 2 Gruppen von jeweils [mm] $n\!$ [/mm] Personen auf. Es gibt [mm] $n!\!$ [/mm] Möglichkeiten Personen in jeder Gruppe anzuordnen. Demnach gäbe es insgesamt [mm] $(n!)^2$ [/mm] Möglichkeiten eine Anordnung, wie von schachuzipus beschrieben, zu erreichen.
Viele Grüße
Karl
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:27 Fr 15.10.2010 | | Autor: | Gonozal_IX |
Hallo Karl,
dabei unterschlägst du aber Möglichkeiten!
Wieviele Möglichkeiten gibt es denn, die 2n große Gruppe in 2 Gruppen aufzuteilen?
Du wirst feststellen, dass du nachher auch wieder auf (2n)! kommst (was im übrigen weit mehr als [mm] (n!)^2 [/mm] ist).
MFG,
Gono.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:41 Fr 15.10.2010 | | Autor: | Karl_Pech |
Hallo Gono,
> dabei unterschlägst du aber Möglichkeiten!
> Wieviele Möglichkeiten gibt es denn, die 2n große Gruppe
> in 2 Gruppen aufzuteilen?
Ich würde sagen, genau Eine, da es sonst mindestens ein Mitglied aus einer Gruppe geben würde, hinter der keine größere Person steht. Hier ein Beispiel für [mm] $n=3\!$:
[/mm]
[mm]\begin{array}{cccc}
{}&\bullet&\bullet&{}\\
\textcolor{green}{\bullet}&\textcolor{green}{\bullet}&\textcolor{green}{\bullet}&\textcolor{green}{\bullet}
\end{array}[/mm]
Oder aber, es gäbe mindestens ein Mitglied aus einer Gruppe vor dem keine kleinere Person steht:
[mm]\begin{array}{cccc}
\bullet&\bullet&\bullet&\bullet\\
{}&\textcolor{green}{\bullet}&\textcolor{green}{\bullet}&{}
\end{array}[/mm]
Viele Grüße
Karl
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:03 Fr 15.10.2010 | | Autor: | Gonozal_IX |
Hallo Karl,
da unterliegst du einem Irrtum.
Es gibt [mm] \vektor{2n \\ n} [/mm] Möglichkeiten, also weit mehr als nur eine.
Da die Menschen paarweise verschieden sind, lassen sich bei jeder Aufteilung in 2 Gruppen die Menschen so anordnen, dass jeweils der Grössere hinter dem kleineren steht.
Beachte dabei, dass die Reihen an sich nicht nach grösse geordnet sind.
MFG,
Gono.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:19 Fr 15.10.2010 | | Autor: | Karl_Pech |
Hallo Gono,
"Paarweise verschieden" bedeutet doch bloß, daß keine Person der Anderen in Größe gleicht. Seien [mm] $P_1,\dotsc,P_{2n}$ [/mm] die besagten Personengrößen, dann gilt: [mm] $\forall i,j\in[1:2n]:i\ne j\Rightarrow P_i\ne P_j$.
[/mm]
Machen wir das mal Schritt für Schritt für [mm] $n=3\!$. [/mm] Wir gehen von 3,4,5,1,2,6 aus. Dann wäre eine mögliche Anordnung:
4 5 6
1 2 3
oder aber:
5 4 6
1 2 3
Wo ist jetzt der Denkfehler? Könntest Du ein ähnliches Beispiel machen, das dies widerlegt?
Grüße
Karl
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:29 Fr 15.10.2010 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
>
> Machen wir das mal Schritt für Schritt für [mm]n=3\![/mm]. Wir
> gehen von 3,4,5,1,2,6 aus. Dann wäre eine mögliche
> Anordnung:
>
> 4 5 6
> 1 2 3
>
> oder aber:
>
> 5 4 6
> 1 2 3
>
>
> Wo ist jetzt der Denkfehler? Könntest Du ein ähnliches
> Beispiel machen, das dies widerlegt?
Was wäre mit
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Ist das zulässig, schauzipus?
Marius
>
> Grüße
> Karl
>
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Hallo Marius,
> Hallo
>
> >
> > Machen wir das mal Schritt für Schritt für [mm]n=3\![/mm]. Wir
> > gehen von 3,4,5,1,2,6 aus. Dann wäre eine mögliche
> > Anordnung:
> >
> > 4 5 6
> > 1 2 3
> >
> > oder aber:
> >
> > 5 4 6
> > 1 2 3
> >
> >
> > Wo ist jetzt der Denkfehler? Könntest Du ein ähnliches
> > Beispiel machen, das dies widerlegt?
>
> Was wäre mit
>
> 346
> 125
>
> Ist das zulässig, schauzipus?
Was, wo, wie, wer?
Aber selbstverständlich ist das zulässig, Hauptsache jede Person in Reihe 1 ist kleiner als die hinter ihr stehende in Reihe 2!
>
> Marius
>
Gruß
schachuzipus
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