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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:56 So 30.10.2011 | | Autor: | Jule2 |
| Aufgabe | | Die Zahlen {1,2,3,.....,10} werden in einer beliebigen Reihenfolge im Kreis angeordnet. Zeige, dass es für jede mögliche derartige Anordnung drei aufeinanderfolgende Zahlen gibt, deren Summe mindestens 17 ist. |
Also ich habe mir folgendes überlegt:
1: [mm] \summe_{1}^{10} [/mm] =55 somit hat jede Zahl den Wert 5,5(also natürlich nur im Mittel)
2: Somit hat jedes Triple im Mittel den Wert 3*5,5=16,5 was ja schonmal >16 ist
3: Es gibt 10 solcher Triple somit ist 10*16,5=165 die Summe aller Triple
4: nehme ich nun an das im günstigsten Fall die Summe der ersten 9 Triple je 16 ergibt so ist 165-9*16=der Summe des zehnten Triple also 21!
Kann ich das so machen?? Oder gibt es da vielleicht ne besser Beweisführung??
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> Die Zahlen {1,2,3,.....,10} werden in einer beliebigen
> Reihenfolge im Kreis angeordnet. Zeige, dass es für jede
> mögliche derartige Anordnung drei aufeinanderfolgende
> Zahlen gibt, deren Summe mindestens 17 ist.
> Also ich habe mir folgendes überlegt:
>
> 1: [mm]\summe_{1}^{10}[/mm] =55 somit hat jede Zahl den Wert
> 5,5(also natürlich nur im Mittel)
>
> 2: Somit hat jedes Triple im Mittel den Wert 3*5,5=16,5 was
> ja schonmal >16 ist
>
> 3: Es gibt 10 solcher Triple somit ist 10*16,5=165 die
> Summe aller Triple
>
> 4: nehme ich nun an das im günstigsten Fall die Summe der
> ersten 9 Triple je 16 ergibt so ist 165-9*16=der Summe des
> zehnten Triple also 21!
>
> Kann ich das so machen?? Oder gibt es da vielleicht ne
> besser Beweisführung??
>
Sieht gut aus, der Beweis scheint zu funktionieren.
En alternativer Beweis wäre: Nimm aus dem Kreis die 1 heraus. Es bleiben 9 hintereinander angeordnete Zahlen übrig mit der Gesamtsumme 54. Diese können in 3 Dreiergruppen unterteilt werden, von denen mindestens eine die Summe 18 haben muss.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:16 So 30.10.2011 | | Autor: | hippias |
Ich durchschaue Deinen Beweis nicht voellig (Deine Mittelwerte irritieren mich und haettest Du nicht sogar gezeigt, dass eine Tripelsumme mindestens $21$ betragen muss?), halte ihn aber fuer sehr interessant. Als Antwort auf Deine Frage, ob es auch anders geht, hier meine Vorschlag: Du hast gezeigt
> somit ist [...] 165 die
> Summe aller Triple
>
Nun koennen nicht alle diese 10 Tripel eine Summe [mm] $\leq [/mm] 16$ haben, denn dies ergaebe hoechstens nur $160$.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:24 So 30.10.2011 | | Autor: | Jule2 |
Also mit Mittelwert ist natürlich das arithmetische Mittel gemeint, da hab ich mich vielleicht etwas ungeschickt ausgedrückt ansonsten hab ich mir halt den günstigsten fall angeschaut außer acht lassend ob dieser überhaupt möglich wäre nämlich den wo alle 9 Triple genau die Summe 16 annehmen was ja bekantlicher weise die größtmögliche natürlich Zahl kleiner 17 währe.
Für diesen speziellen Fall wäre dann die Summe 21 was ja in jedem fall größer als sechzehn ist!
Allerdings finde ich deine herangehensweise auch sehr interessant!
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